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Aufgabe: Im Bereich zwischen der Funktionskurve y=2-x^2 und der x-Achse im 1. und 2. Quadranten ist ein achsenparalleles Rechteck mit der Lagrangesche Multiplikatoren zu berechnen mit einer maximalen Fläche.


Problem/Ansatz: Die Lösung der Aufgabe lautet x=\( \sqrt{6} \) /3 und y=4/3.

Für die Nebenbedingung habe ich y+x^2-2=0 gewählt und die Funktion 2xy, aber ich komme nicht auf die Lösung, was mache ich falsch mit der Funktion:

H: 2xy +λ(y+x^2-2)

Kann da bitte mir helfen?

MfG

von

3 Antworten

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was mache ich falsch

Um das zu beantworten, müssten wir zunächst folgendes wissen:

Kannst du so einen Term nach x ableiten?

Kannst du so einen Term nach y ableiten?

Wie sieht dein daraus folgendes Gleichungssystem aus?

von 41 k

Mit H: 2xy +λ(y+x^2-2)

Ableitung nach x: 2y+2λx

Ableitung nach y: 2x+λ

Ableitung nach λ: y+x^2-2

Richtig oder? x kann man rausfinden von zweite Gleichung, dann in erste Gleichung einsetzen und so y rausfinden und dann beide x und y in dritte Gleichung einsetzten um Lambda zu kriegen. Aber so komme ich nicht auf die Lösung.

Sollten die Ableitungen nach x und nach y nicht irgendwie 0 sein?

Doch alle drei sind nach 0:

2y+2λx = 0

2x+λ = 0

y+x2-2 = 0

Ist H: 2xy +λ(y+x2-2) richtig? also mache ich da bei der Umrechnung einen Fehler?

Ja tatsächlich, danke !

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Aloha :)

Du sollst die Fläche \(F(x;y)\) unter der Nebenbedingung \(y=2-x^2\) optimieren.

Sowohl die Fläche als auch die Nebenbedingung hast du korrekt bestimmt:$$F(x;y)=2xy\quad;\quad g(x;y)=y+x^2=2=\text{const}\quad;\quad x\ge0$$

Nun hast du die Lagrange-Funktion gebildet und dir das Leben damit unnötig schwer gemacht. Lagrange fordert nur, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ist. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2y}{2x}=\lambda\binom{2x}{1}$$

Nun dividieren wir die Gleichung der 1-ten Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordinate:$$\frac{2y}{2x}=\frac{\cancel\lambda\cdot2x}{\cancel\lambda\cdot1}=2x\implies 2y=4x^2\implies \pink{y=2x^2}$$

Diese Lagrange-Bedingung setzen wir nun in die konstante Nebenbedingung ein:$$2=\pink y+x^2=\pink{2x^2}+x^2=3x^2\implies x\stackrel{(x\ge0)}{=}\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{\sqrt9}=\frac{\sqrt6}{3}$$Wegen der Lagrange-Bedingung gilt noch \(\pink{y=2x^2}=2\cdot\frac{6}{9}=\frac{12}{9}=\frac43\).

Damit haben wir das Optimum gefunden: \(x=\frac{\sqrt6}{3}\;;\;y=\frac43\;;\;F_{\text{max}}=\frac{8\sqrt6}{9}\)

von 118 k 🚀

Hallo Tschaka,

dir ist ein kleiner handwerklicher Fehler unterlaufen. Mit der Lagrange-Methode berechnet man Extrema. Auch wenn das Minimum der Fläche nicht gesucht ist, weil als "Optimum" konkret das Maximum gesucht ist, müsste auch dieses Extremum in deiner Rechnung auftauchen. Da du selbst x≥0 (und damit eben auch die Möglichkeit x=0) in deinem Lösungsweg erwähntest, kannst du deine Division durch 2x nicht uneingeschränkt ausführen.

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Falls Lagrangesche Multiplikatoren nicht verlangt sind:

\(A=2u*(2-u^2)=4u-2u^3\)    soll maximal werden.

\(A´=4-6u^2\)

\(4-6u^2=0\)

\(u₁= \frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{1}{3}*\sqrt{6} \)

\(u₂=- \frac{1}{3}*\sqrt{6} \)

1.)\(A= \frac{2}{3}*\sqrt{6}*(2-\frac{4}{6} )=\frac{8}{9}*\sqrt{6}\)

2.)\(A=- \frac{8}{9}*\sqrt{6} \) →\(|A|= \frac{8}{9}*\sqrt{6} \)

\(1.)    identisch  2.)\)

Unbenannt.PNG


von 23 k

Zu einer Zielfunktion (in deinem Fall A(u)=4u-2u³ ) gehört die Angebe des Definitionsbereichs (hier 0≤u≤√2).

Zur Lösung der Extremwertaufgabe gehört auch, die lokalen Extremwerte mit den Funktionswerten der Intervallgrenzen zu vergleichen.

Du hast versäumt, A(0) und A(√2) zu berechnen.

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