Aloha :)
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion \(f\) eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen \(g_i\) sein.$$f(x,y)=2x^2+5y^2+15xy\quad;\quad g(x,y)=x+y=0$$Da wir hier nur eine Nebenbedingung \(g\) haben, muss also gelten:
$$\operatorname{grad}f(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x,y)\implies\binom{4x+15y}{10y+15x}=\lambda\binom{1}{1}\implies$$$$4x+15y=10y+15x\implies5y=11x$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein und finden:$$0=x+y=x+\frac{11}{5}x=\frac{16}{5}x\implies x=0$$$$0=x+y=\frac{5}{11}y+y=\frac{16}{11}y\implies y=0$$
Daraus folgt insbesondere \(\lambda=0\). Wir haben also ein Extremum unter der Nebenbedingung bei \((x,y)=(0,0)\).
Das macht auch Sinn, denn wir können die Nebenbedingung umformen zu \(y=-x\) und das in die Funktionslgeichung einsetzen:$$f(x,-x)=2x^2+5(-x)^2+15x(-x)=2x^2+5x^2-15x^2=-8x^2$$Jetzt sieht man das Maximum bei \((x,y)=(0,0)\) besser ;)
