Aufgabe:
Integral einer komplexen Zahl als allgemeingültige Aussage für den Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. einer Ellipse:
Problem/Ansatz:
Fläche eines Dreiecks, rechtwinklig A=a*b*1/2
komplexe Zahl, die das Dreieck darstellt: z=a+ib=a*(1+1/k*i) k=a/b
Integral z(a) da=a2/2*(1+1/k*i)=z2=a2+b2*i |z2|=((a2/2)2+(a2/2*1/k)2)1/2=(a22+b22)1/2
|z2|=1/2*(a4+a4*b2/a2)1/2=1/2*a*(a2+b2)1/2
Ansatz: A=a*b*1/2=|z2|*s2 , daraus folgt: s2=b/(a2+b2)1/2
Beispiel: a=5 b=8 s2=8/(25+64)1/2=0,84799
z=5+8i
z2=12,5+20i=a2+b2i |z2|=23,585
s2=a*b*1/2*1/|z2|=0,84799
Damit habe ich eine allgemeingültige Aussage für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch die Integration einer komplexen Zahl getroffen.
Ellipse: s2=cos(tan-1(b/a))*b/a*2 mit s2*|z2|*pi=a*b*pi=A , auch dies ist allgemeingültig für jede Ellipse
Ich hoffe, dies ist alles korrekt, viele Grüße, Bert Wichmann!
