Verrichtete Arbeit eines Partikels entlang einer Ellipse

Question

Aufgabe:

Verrichtete Arbeit eines Teilchens auf einer Ellipse berechnen

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie die zu verrichtende Arbeit, um ein Partikel im Kraftfeld \( \vec{F} \)(x,y) entlang dem oberen Teil der Ellipse x²  + y²/b² = 1 von (-1,0) bis (1,0) zu verschieben.

\( \vec{F} \)(x,y)=  3y²+2\\16x

Verwenden Sie die dazu Parameterform der Ellipse mit x=cos(t).

Ich weiß dass dies ein Kurvenintegral ist und ich kenne ebenfalls die Parametrisierung einer Ellipse. Ich weiß nur trotzdem nicht genau wie man diese Aufgabe löst.

Comments

war eine Antwort, lul

Answer 1

Hallo

dann schreibe doch das Kurvenintegral mit der Kurve c(t)=(cos(t), bsin(t)) hin ist denn F gegeben, oder sollst du das nur allgemein hinschreiben?

F=(3b^2sin^2(t)+2, 16cos(t)) und c'(t) kannst du doch wohl . t läuft von -pi/2 bis +pi/2

lul

Answer 2

Aloha :)

Die Paramterisierung der Ellipse in Polarkoordinaten folgt direkt aus der Gleichung:$$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad\implies\quad\vec r=\binom{1\cdot\cos\varphi}{b\cdot\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[\pi;0]$$Das Intervall für den Polarwinkel \(\varphi\) wurde so gewählt, dass wir vom Punkt \((-1;0)\) loslaufen, den oberen Teil \(y=b\sin\varphi\ge0\) des Bogens enlang laufen und beim Punkt \((1;0)\) ankommen.

Damit können wir die verrichtete Arbeit als Wegintegral formulieren:$$E=\int\limits_{\text{Ellipse}}\!\!\!\vec F\,d\vec r=\int\limits_{\varphi=\pi}^0\vec F(\vec r(\varphi))\cdot\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=\pi}^0\binom{3\cdot b^2\sin^2\varphi+2}{16\cos\varphi}\binom{-\sin\varphi}{b\cos\varphi}d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=\pi}^0(-3b^2\red{\sin^3\varphi}-2\sin\varphi+16b\green{\cos^2\varphi})d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=\pi}^0\left(-3b^2\red{(\sin\varphi-\sin\varphi\cos^2\varphi)}-2\sin\varphi+16b\cdot\green{\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)}\right)d\varphi$$$$\phantom E=\left[-3b^2\left(-\cos\varphi+\frac13\cos^3\varphi\right)+2\cos\varphi+16b\left(\frac{\varphi}{2}+\frac14\sin(2\varphi)\right)\right]_{\varphi=\pi}^0$$$$\phantom E=-3b^2\left[-\frac23-\frac23\right]+2\left[1-(-1)\right]+16b\left[0-\frac\pi2\right]=3b^2\cdot\frac43+2\cdot2-8b\pi$$$$\phantom E=4b^2+4-8b\pi$$