Bestimmen Sie f(4 x) .

Question

Halo

2. Aufgabe
Es seien die folgenden Basen des \( \mathbb{R}[x]_{\leq 1}=\{a x+b \mid a, b \in \mathbb{R}\} \) gegeben:
\( \mathcal{B}_{1}=\{2 x+3,2\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\{-x+1,3 x+2\} . \)
Außerdem sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \) durch die folgenden Bilder gegeben
\( f(2 x+3)=-x+1, \quad f(2)=3 x+2 . \)
a) Bestimmen Sie \( f(4 x) \).
b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) \).
c) Geben Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(f) \) an.
d) Bestimmen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} \).

Answer 1

Zu a)

Wegen der Linearität von \(f\) gilt

\(f(4x)=f(2\cdot (2x+3)-3\cdot 2)=2\cdot f(2x+3)-3\cdot f(2)=-11x-4\).

Zu b)

Da \(-x+1 \in Bild(f)\) und \(3x+2 \in Bild(f)\) und diese beiden Bilder

linear unabhängig sind, ist \(\dim(Bild(f))=2\).