Bestimmen Sie das multiplikative Inverse zu g+I in ℤ3[x] / I .

Question

ich habe mit dieser Frage ein bisschen Probkem. Ich weiß überhaupt nicht, wie man auf dem rot markierte Bereich kommt :/ (Ich habe auch die Lösung geschickt).

Ich weiß wie man erweiterte euklidische Algorithmus berechnet aber diese Beispiel verwirrt mich. Für eine Erklärung werde sehr dankbar.

Text erkannt:

Seien $f=x^{4}+2 x^{2}+2$ und $g=x^{3}+2 x+1$ Elemente in $\mathbb{Z}_{3}[x]$ und sei $I=f \mathbb{Z}_{3}[x]$ das von $f$ erzeugte Ideal. Bestimmen Sie das multiplikative Inverse zu $g+I$ in $\mathbb{Z}_{3}[x] / I$.

Text erkannt:

Aufgabe 7. Nach Satz 6.20 b) können $u, v \in \mathbb{Z}_{3}[x]$ mit $g g T(f, g)=u \cdot f+v \cdot g$ mittels erweitertem Eukldischem Algorithmus bestimmt werden. Ist $g g T(f, g)=$ 1 , so folgt
$v \cdot g+I=1+I,$
also ist dann $v+I$ das multiplikativ Inverse zu $g+I$ in $\mathbb{Z}_{3} / I$. Wir verwenden den erweiterten Eukldischen Algorithmus:
$\left.\begin{array}{rl} x^{4}+2 x^{2}+2 & =x \cdot\left(x^{3}+2 x+1\right)+(2 x+2) \\ x^{3}+2 x+1 & =\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(2 x+2)+1 \end{array}\color{red}\right\}$
Rückwärts einsetzen liefert:
$\left.\begin{array}{rl} 1 & =g-\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(2 x+2) \\ & =g-\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(f-x \cdot g) \\ & =\left(2 x^{3}+x^{2}+1\right) \cdot g+\left(x^{2}+2 x\right) \cdot f \end{array}\color{red}\right\}$
Also gilt $\left(2 x^{3}+x^{2}+1\right) \cdot g+I=1+I$ in $\mathbb{Z}_{3}[x] / I$. Damit ist $2 x^{3}+x^{2}+1+I$ das multiplikativ Inverse von $g+I$ in $\mathbb{Z}_{3} / I$.

Text erkannt:

6.20. Satz: Seien $f, g \in K[x]$.
(a) Der $g g T(f, g)$ kann mit dem Euklidischen Algorithmus berechnet werden.
(b) Es gilt $g g T(f, g)=u f+v g$ für gewisse $u, v \in K[x]$ und $u, v$ können mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnet werden.

Answer 1

wie man auf dem rot markierte Bereich kommt

Das steht in der Lösung: mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus.

$f$ ist ein Polynom vierten Grades mit Leitkoeffizient $1$.

Um aus $g$ ein Polynom vierten Grades mit Leitkoeffizient $1$ zu machen muss $g$ mit $x$ multiplizieren. Deshalb steht in der ersten Zeile

        $f(x) = (x\cdot g(x)) + (f(x) - x\cdot g(x))$.

Rückwärts einsetzen ist dann der erweiternde Teil, der dem erweiterten euklidischen Algorithmus den Namensbestandteil erweitert verleiht.

Comments

Kann man es auch mit Polynomdivision berechnen?

---

Ich hab es leider nucht verstanden :/

---

Ich habe nicht verstanden, wie man die Polynome mit erweiterte euklidische Algorithmus berechnen kann. Wir haben immer erweiterte euklidische Algorihmus für zwei Zahlen vewendet aber ich weiß es nicht, wie man für polynome verwenden kann!

---

wie man die Polynome mit erweiterte euklidische Algorithmus berechnen kann.

Man kommt auf das $x$ durch die Poylnomdivision

        $f(x) : g(x)$

und auf das $2x^2 + x$ durch die Polynomdivision

        $g(x) : (2x+2)$

---

Ja genau das wollte ich wissen :)

---

Und was ist 2x+2 in der ersten Zeile :"D

---

Entschuldigung für so viele Fragen aber ich möchte es verstehen :"D

---

Und was ist 2x+2 in der ersten Zeile

Das ist der Rest der Poylnomdivision $f:g$.

---

Die einzige Sache, dass es mich verwirrt macht, ist dass wenn ich

x.(x³ + 2x + 1) + (2x + 2) berechne, ich bekomme x⁴ + 2x² + 3x + 2 und dieses Ergebnis ist nicht gleuch x⁴ + 2x² + 2.

Und wenn ich Polynomdivision berechne, mein Ergebniss ist wie folgende:

x⁴ + 2x² + 2 =(x³ + 2x + 1). (x) + (2-x).

Ist das gleich, was ich oben geschrieben habe oder nicht?

---

wenn ich x.(x³ + 2x + 1) + (2x + 2) berechne, ich bekomme x⁴ + 2x² + 3x + 2

Das ist richtig.

und dieses Ergebnis ist nicht gleuch x⁴ + 2x² + 2.

Das ist nicht richtig.

Die Polynome sind gleich, weil sie aus $\mathbb{Z}_3[x]$ und die Koeffizienten somit aus $\mathbb{Z}_3$ sind.