Beispiel für lineare Abbildung mit Kern = Bild

Question

Aufgabe:Beispiel für eine lineare Abbildung mit Bild = Kern

Problem/Ansatz:Ich bräuchte ein Beispiel mit Erklärung für eine lineare Abbildung mit Kern = Bild

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Vielleicht F : ℝ² → ℝ², (x,y) ↦ (y,0).

Answer 1

Eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Bilder der Basisvektoren.

Ist \(\varphi:V\to V\) linear mit \(\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi\), dann muss \(\dim V\) wegen Dimensionssatz gerade sein.

Speziell bei \(V = \mathbb{R}^2\) muss \(\dim\operatorname{Kern} \varphi = \dim\operatorname{Bild}\varphi = 1\) sein.

Angenommen der Basisvektor \(\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)\) wird auf \(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}\right)\) abgebildet. Überlege dir, wohin der andere Basisvektor \(\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)\) abgebildet werden muss, damit \(\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi\) ist.

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Auf (1,0) denke ich