Eigenwerte und Eigenfunktion Periodischer Randbedingungen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Skalarprodukt:$$ <f,g> = \int \limits_{-\pi R}^{\pi R}\overline{f(x)} g(x) dx$$ mit einer Periodischen Randbedingung: $$ f(x) = f(x + 2\pi R)$$.

Zu bestimmen sind alle Eigenwerte sowie die Eigenfunktionen von $$\frac{d^2}{dx^2} $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Lösung die Form $$ e^{ikx} $$ haben muss, da wir mit periodischen randbedingungen arbeiten nur wie berechne ich mir das sowie die Eigenwerte!

Comments

Eine Eigenfunktion f erfüllt die gewöhnliche Differentialgleichung

$$f''-sf=0$$

Die kannst Du lösen, allerdings musst Du Fallunterscheidung machen, ob s positiv, negativ oder 0 ist.

Dann musst Du prüfen, in welchen Fällen sich die Rsndbedingung erfüllen lässt.

Frage: Ist nur diese eine Randbedingung gegeben?

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Ja nur die eine Rb ist gegeben

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Meine Lösung wäre also:

$$f(x) = c_1 * e^{i\mu x } +  c_2 * e^-{i\mu x } $$ mit Rb:

$$f(\pi R) =  c_1 * e^{i\mu \pi R } +  c_2 * e^{-i \mu \pi R} = f(3 \pi R) = c_1 * e^{i\mu3 \pi R } +  c_2 * e^{-i \mu3 \pi R} $$

Somit:

$$ e^{i\mu \pi R } =  e^{i\mu 3 \pi R } =$$

$$ e^{i\mu \pi R 2} = 1 $$ für R ungleich 0 ist $$\mu = \frac{k}{R} $$

Dadurch ist die Eigenfunktion: $$e^{ikx} $$ und der Eigenwert $$-k^2 $$

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Die Eigenfunktionen sind doch

$$\exp(i \mu x), \text{  mit } \mu=k/R, k \in \mathbb{Z}$$

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Meinte ich so! Hab mich vertippt aber stimmt mein Rechenweg der zum Ergebnis führt?

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Ja, das stimmt.

Allerdings hast Du die Möglichkeit \(\exp(\mu x)\) nicht ausgeschlossen. Und ich würde den Punkt unter "Somit" genauer erklären.