Methodenproblem mit Berechnung der Eigenwerte

Question

Aufgabe:Berechnung der Eigenwerte einer 3x3 oder 4x4 Matrix

…

Problem/Ansatz:
Moin, mein Problem ist eher genereller Natur. Die übliche Methode um die EWs zu berechnen ist ja über das charakteristische Polynom, dann Polynomdivision/Horner und für die letzten 2 Werte die PQ-Formel.

Jetzt hatte ich aber auch eine Aufgabe wo es sehr viel einfacher war eine Dreickesmatrix zu erzeugen und die EWs einfach von der Hauptdiagonalen abzulesen.

Daher die Frage welche Methode wann besser ist?

Answer 1

Darauf gibt es keine pauschale Antwort, wie es bei mathematischen Problemen selten der Fall ist. Es gibt sogar \((n\times n)\)-Matrizen mit beliebigem \(n\), deren Eigenwerte sich problemlos berechnen lassen. Das liegt dann einfach an der besonderen Struktur. Das weiß man aber im Vorfeld nicht. Bei Matrizen der Dimension 2 und 3 geht es in der Regel immer recht gut mit dem charakteristischen Polynom, da man dort die Nullstellen meist noch recht leicht bestimmen kann. Für Matrizen größerer Dimension gibt es fast immer irgendeinen Trick. Aufgaben - auch in den Klausuren - werden aber auch bewusst so gestellt.