Beispiel für Zufallsvariablen, wo zentraler Grenzwertsatz nicht geeignet ist

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie ein Beispiel, das man mit n > 30 unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen {X₁,...,X₂} mit Var (X_i) ≠ 0 modellieren kann, in dem der zentrale Grenzwertsatz nicht geeignet ist, um P ( $\sum\limits_{k=1}^{n}$ X_k ≤ a ) (für ein a ∈ ℝ Ihrer Wahl) zu approximieren.

Problem/Ansatz:

a = 30; Zufallsvariable = 0,05; n = 31

1 - P $\frac{\sum\limits_{k=1}^{31}{} Xk - 30 × 0,95}{\sqrt{0,0196 × 31}}$ < $\frac{31 - 30 × 0,95}{\sqrt{0,0196 * 31}}$

1 - Φ_0,1 (4,1) = 1

σ = 1 × 0,95 × 0,5

μ = X − B (0,95) ....

Kann mir da vielleicht einer helfen oder eventuell ein geeigneteres Beispiel dafür geben? Bin relativ ratlos dabei

Comments

"Wann etwas geeignet ist", hängt von der Anwendung ab und ist so kein mathematischer Begriff. Welche Gütekriterien kennst du denn? Satz von Berry-Esseen?

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Es gibt verschiedene Bedingungen, die erfüllt sein können, damit die Annäherung ausreichend gut ist. Z. B. bei der Normalapproximation der Binomialverteilung die Laplace-Bedingung $np(1-p)>9$. Die erfüllst du mit $n=31$ und $p=0.5$ nicht. D. h. du könntest $X_1,...,X_{31}\sim \operatorname{Ber}(1/2)$ wählen.