Bestimmen sie die Lösung mit dem Gauß Verfahren

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Lösung mit dem Gauß Verfahren

a) 2x1+4x2+2x3=7

4x2+2x3=8

4x2-x3=-1

b) 3x1-4x2+x3=4

3x1+x2-2x3=6

3x3=6

c) 4x1-2x2+2x3=3

3x2+3x3=-3

4x1+x2+4x3=5

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keinen Plan, wie ich das rechnen soll.. Es wäre super lieb, wenn mir jemand das rechnen könnte!

Danke im Voraus:3

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge!

a)

\(\left(\begin{matrix} 2 & 4 & 2 & 7 \\ 0 & 4 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & -1 & -1 \end{matrix}\right)\)

Subtrahiere die 3. von der 2. Zeile und du erhältst \(3=x_3\)

Setze dein Ergebnis in die 2. Gleichung ein, um x2 zu bestimmen, anschließend mit Hilfe der 1. Gleichung x1.

b)

Hier kannst du das Ergebnis für x3 = 2 ablesen. Subrahiere die 2. von der 1. Zeile und setze das Ergebnis ein, um x2 zu bestimmen.

\(\left(\begin{matrix} 3 & -4 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{matrix}\right)\)

c)

Subtrahiere die 3. Zeile von der 1. Das ist deine neue 3. Zeile. Addiere dann die 2. und 3. Zeile und rechne dann weiter wie bei den anderen Aufgaben.

\(\left(\begin{matrix} 4 & -2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 5 \end{matrix}\right)\)

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir machen die Teilaufgabe (a) mal zusammen. Wir schreiben das Gleichungssystem übersichtlich auf und formen es so um, dass in jeder Spalte lauter Nullen und genau eine Eins steht.$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Operation}\\\hline2 & 4 & 2 & 7 & -\text{Gleichung 2}\\0 & 4 & 2 & 8 & -\text{Gleichung 3}\\0 & 4 & -1 & -1\\\hline2 & 0 & 0 & -1 & \div2\\0 & 0 & 3 & 9 & \div3\\0 & 4 & -1 & -1 & \\\hline1 & 0 & 0 & -0,5 & \\0 & 0 & 1 & 3 & \\0 & 4 & -1 & -1 & +\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 0 & 0 & -0,5 & \\0 & 0 & 1 & 3 & \\0 & 4 & 0 & 2 & \div4\\\hline1 & 0 & 0 & -0,5 & \Rightarrow x_1=-0,5\\0 & 0 & 1 & 3 & \Rightarrow x_3=3\\0 & 1 & 0 & 0,5 & \Rightarrow x_2=0,5\end{array}$$Die Lösung lautet also \((-0,5|0,5|3)\).

Die beiden anderen Aufgaben funktionieren nach demselben Prinzip.

Hier zum Vergleich die Lösungen: \((2,8|1,6|2)\) und \((5,25|4|-5)\).