Ebenenschar und Geradenschar Aufgabe

Question

Gegeben sind die Geradenschar g_a: x = [1,1,0] + t • [1,2,a] und die Ebenenschar E_b: 2x₁ + 4x₂ + 5x₃ = b

a) Für welchen Wert von a schneidet g_a die Ebene E₁ orthogonal? Berechnen Sie den Schnittpunkt.

b) Für welchen Wert von a ist die Gerade g_a parallel zur Ebene E₁ ?

c) Wie müssen a und b gewählt werden, damit die Gerade g_a in der Ebene E_b liegt?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Damit die Gerade $g_a$ die Ebene $E_b$ orthogonal schneidet, muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec v_g=(1;2;a)^T$ parallel zum Normalenvektor der Ebene $\vec n=(2;4;5)^T$ stehen.

Hier erkennt man direkt, dass $\vec v_g$ für $\pink{a=2,5}$ genau $\frac12\vec n$ ist und damit die beiden Vektoren parallel zueinander verlaufen.

Den gesuchten Schnittpunkt erhältst du durch Einsetzen der Geradengleichung$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\\pink a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\\pink{2,5}t\end{pmatrix}$$in die Ebenengleichung:$$2\cdot\underbrace{(1+t)}_{=x_1}+4\cdot\underbrace{(1+2t)}_{=x_2}+5\underbrace{\cdot2,5t}_{=x_3}=b\implies22,5t+6=b\implies t=\frac{b-6}{22,5}=\frac{2b-12}{45}$$

Diesen Wert für $t$ setzt du in die Geradengleichung ein:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\2,5t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{2b-12}{45}\\[1ex]1+2\cdot\frac{2b-12}{45}\\[1ex]2,5\cdot\frac{2b-12}{45}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2b+33}{45}\\[1ex]\frac{4b+21}{45}\\[1ex]\frac{b-6}{9}\end{pmatrix}\implies$$$$\pink{S\left(\frac{2b+33}{45}\;\bigg|\;\frac{4b+21}{45}\;\bigg|\;\\\frac{b-6}{9}\right)}$$

zu b) Damit die Gerade $g_a$ parallel zur Ebene $E_b$ verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec v_g=(1;2;a)^T$ senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $\vec n=(2;4;5)^T$ stehen:$$\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\stackrel!=0\implies10+5a=0\implies \pink{a=-2}$$

zu c) Damit die Gerade $g_a)$ in der Ebene $E_b$ liegt, muss die Gerade insbesondere parallel zur Ebene verlaufen. Daher können wir die Forderung $\pink{a=-2}$ aus Teil (b) übernehmen.

Zusätzlich muss noch ein Punkt der Geraden, z.B. der Ankerpunkt $(1|1|0)$, in der Ebene liegen:$$2x_1+4x_2+5x_3=b\implies 2\cdot1+4\cdot1+5\cdot0=b\implies\pink{b=6}$$

Wir müssen also $a=-2$ und $b=6$ wählen.

Answer 2

a)

2 * [1,2,a] = [2,4,5] --> a = 2.5

Schnittpunkt S(2·b + 33)/45 | (4·b + 21)/45 | (b - 6)/9)

b)

[1,2,a] * [2,4,5] = 0 --> a = -2

c)

a = -2 wie unter b)

b = 6, damit der Stützvektor der Geraden in der Ebene liegt.

Comments

Bei a) habe ich den Schnittpunkt allgemein bestimmt. Man kann dann für b = 1 einsetzen um den Schnittpunkt mit E1 zu erhalten

S(7/9 | 5/9 | - 5/9)