Aloha :)
zu a) Damit die Gerade ga die Ebene Eb orthogonal schneidet, muss der Richtungsvektor der Geraden vg=(1;2;a)T parallel zum Normalenvektor der Ebene n=(2;4;5)T stehen.
Hier erkennt man direkt, dass vg für a=2,5 genau 21n ist und damit die beiden Vektoren parallel zueinander verlaufen.
Den gesuchten Schnittpunkt erhältst du durch Einsetzen der Geradengleichung⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛110⎠⎞+t⋅⎝⎛12a⎠⎞=⎝⎛1+t1+2t2,5t⎠⎞in die Ebenengleichung:2⋅=x1(1+t)+4⋅=x2(1+2t)+5=x3⋅2,5t=b⟹22,5t+6=b⟹t=22,5b−6=452b−12
Diesen Wert für t setzt du in die Geradengleichung ein:⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛1+t1+2t2,5t⎠⎞=⎝⎜⎜⎛1+452b−121+2⋅452b−122,5⋅452b−12⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛452b+33454b+219b−6⎠⎟⎟⎞⟹S(452b+33∣∣∣∣∣454b+21∣∣∣∣∣9b−6)
zu b) Damit die Gerade ga parallel zur Ebene Eb verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden vg=(1;2;a)T senkrecht zum Normalenvektor der Ebene n=(2;4;5)T stehen:⎝⎛12a⎠⎞⋅⎝⎛245⎠⎞=!0⟹10+5a=0⟹a=−2
zu c) Damit die Gerade ga) in der Ebene Eb liegt, muss die Gerade insbesondere parallel zur Ebene verlaufen. Daher können wir die Forderung a=−2 aus Teil (b) übernehmen.
Zusätzlich muss noch ein Punkt der Geraden, z.B. der Ankerpunkt (1∣1∣0), in der Ebene liegen:2x1+4x2+5x3=b⟹2⋅1+4⋅1+5⋅0=b⟹b=6
Wir müssen also a=−2 und b=6 wählen.