0 Daumen
1,9k Aufrufe

Gegeben sind die Geradenschar ga: x = [1,1,0] + t • [1,2,a] und die Ebenenschar Eb: 2x1 + 4x2 + 5x3 = b

a) Für welchen Wert von a schneidet ga die Ebene E1 orthogonal? Berechnen Sie den Schnittpunkt.

b) Für welchen Wert von a ist die Gerade ga parallel zur Ebene E1 ?

c) Wie müssen a und b gewählt werden, damit die Gerade ga in der Ebene Eb liegt?

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

zu a) Damit die Gerade gag_a die Ebene EbE_b orthogonal schneidet, muss der Richtungsvektor der Geraden vg=(1;2;a)T\vec v_g=(1;2;a)^T parallel zum Normalenvektor der Ebene n=(2;4;5)T\vec n=(2;4;5)^T stehen.

Hier erkennt man direkt, dass vg\vec v_g für a=2,5\pink{a=2,5} genau 12n\frac12\vec n ist und damit die beiden Vektoren parallel zueinander verlaufen.

Den gesuchten Schnittpunkt erhältst du durch Einsetzen der Geradengleichung(x1x2x3)=(110)+t(12a)=(1+t1+2t2,5t)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\\pink a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\\pink{2,5}t\end{pmatrix}in die Ebenengleichung:2(1+t)=x1+4(1+2t)=x2+52,5t=x3=b    22,5t+6=b    t=b622,5=2b12452\cdot\underbrace{(1+t)}_{=x_1}+4\cdot\underbrace{(1+2t)}_{=x_2}+5\underbrace{\cdot2,5t}_{=x_3}=b\implies22,5t+6=b\implies t=\frac{b-6}{22,5}=\frac{2b-12}{45}

Diesen Wert für tt setzt du in die Geradengleichung ein:(x1x2x3)=(1+t1+2t2,5t)=(1+2b12451+22b12452,52b1245)=(2b+33454b+2145b69)    \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\2,5t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{2b-12}{45}\\[1ex]1+2\cdot\frac{2b-12}{45}\\[1ex]2,5\cdot\frac{2b-12}{45}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2b+33}{45}\\[1ex]\frac{4b+21}{45}\\[1ex]\frac{b-6}{9}\end{pmatrix}\impliesS(2b+3345    4b+2145    b69)\pink{S\left(\frac{2b+33}{45}\;\bigg|\;\frac{4b+21}{45}\;\bigg|\;\\\frac{b-6}{9}\right)}

zu b) Damit die Gerade gag_a parallel zur Ebene EbE_b verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden vg=(1;2;a)T\vec v_g=(1;2;a)^T senkrecht zum Normalenvektor der Ebene n=(2;4;5)T\vec n=(2;4;5)^T stehen:(12a)(245)=!0    10+5a=0    a=2\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\stackrel!=0\implies10+5a=0\implies \pink{a=-2}

zu c) Damit die Gerade ga)g_a) in der Ebene EbE_b liegt, muss die Gerade insbesondere parallel zur Ebene verlaufen. Daher können wir die Forderung a=2\pink{a=-2} aus Teil (b) übernehmen.

Zusätzlich muss noch ein Punkt der Geraden, z.B. der Ankerpunkt (110)(1|1|0), in der Ebene liegen:2x1+4x2+5x3=b    21+41+50=b    b=62x_1+4x_2+5x_3=b\implies 2\cdot1+4\cdot1+5\cdot0=b\implies\pink{b=6}

Wir müssen also a=2a=-2 und b=6b=6 wählen.

Avatar von 153 k 🚀
+1 Daumen

a)

2 * [1,2,a] = [2,4,5] --> a = 2.5

Schnittpunkt S(2·b + 33)/45 | (4·b + 21)/45 | (b - 6)/9)

b)

[1,2,a] * [2,4,5] = 0 --> a = -2

c)

a = -2 wie unter b)

b = 6, damit der Stützvektor der Geraden in der Ebene liegt.

Avatar von 493 k 🚀

Bei a) habe ich den Schnittpunkt allgemein bestimmt. Man kann dann für b = 1 einsetzen um den Schnittpunkt mit E1 zu erhalten

S(7/9 | 5/9 | - 5/9)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage