Wie bildet man das Quotientenkriteritum dieser Reihe?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{(2 n) !} \)

Wie bildet man das quotientenkriteritum dieser Reihe?

Answer 1

Aloha :)

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{2^{3(n+1)}}{(2(n+1))!}}{\frac{2^{3n}}{(2n)!}}\right|=\frac{2^{3(n+1)}}{(2(n+1))!}\cdot\frac{(2n)!}{2^{3n}}=\frac{2^{3(n+1)}}{2^{3n}}\cdot\frac{(2n)!}{(2(n+1))!}=\frac{2^{3n+3}}{2^{3n}}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{\pink{2^{3n}}\cdot2^3}{\pink{2^{3n}}}\cdot\frac{\pink{(2n)!}}{\pink{(2n)!}\cdot(2n+1)(2n+2)}=\frac{8}{(2n+1)(2n+2)}\to0$$Wegen \(0<1\) konvergiert die Reihe.

Answer 2

Man dividiert \(  \frac{2^{3 (n+1)}}{(2 (n+1)) !} \) durch \(  \frac{2^{3n}}{(2n) !} \)

Answer 3

Noch ein Tipp:

\(2^{3n}=(2^3)^n=8^n\) und

\((2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)\)

Answer 4

Du rechnest die Folge mit n+1 als Definitionswert durch die Folge mit n als Definitionswert.

Dann hast du:

2^(3*(n+1))/(2(n+1)!)/(2^3n/(2n!))

= 2^(3n+3)/2^3n * (2n)!/(2(n+1))!

= 2^3 * (2n)!/(2n+2)!

= 8 * (2n)!/((2n+2)*(2n+1)*(2n)!

= 8*  1/((2n+2)*(2n+1)) = 8/(...)

für n nach unendlich hast du dann 0

und diese Reihe konvergiert, wenn du die Konvergenz dieser Reihe bestimmen willst.

(Falls etwas falsch ist, bitte korrigieren)