Klausuraufgabe: Reihe zu (an) konvergiert absolut nach Quotientenkriterium. Beh: Das gilt auch für (an)^2.

Question

Sei \( (a_n) \) eine beliebige Zahlenfolge mit \( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 \). Zeigen Sie: Wenn die Reihen \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) nach dem Quotientenkriterium absolut konvergiert, dann konvergiert auch die Reihen \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ (a_n)^2 } \). Ist auch die Umkehrung dieser Aussage richtig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Das Quotientenkriterium besagt das wenn für fast alle n gilt. |(an + 1)/an| <= q < 1, dann ist die Reihe konvergent. Wenn 

|(an + 1)/an| <= q < 1 gilt dann gilt auch |(an + 1)/an|^2 <= q < 1

Zum zweiten Teil

Die Harmonische Reihe ∑ (k=1 bis ∞) (1/k) konvergiert nicht. Die allgemeine Harmonische Reihe ∑ (k=1 bis ∞) (1/k^a) konvergiert für a > 1 also auch für a = 2. Der Rückschluss ist also nicht möglich.

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe