Aussagen bezüglich Mengen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie wahr oder falsch ist.

1) Die Vereinigung nicht leerer Mengen ist nicht leer.

2) Die Vereinigung zweier Mengen ist eine echte Obermenge der beiden Mengen

3) Der Schnitt nicht leerer Mengen ist nicht leer.

4) Das Komplement des Schnitts zweier Mengen bezüglich deren Vereinigung ist in beiden Mengen enthalten.

Problem/Ansatz:

Aussage 1 und 3 finde ich relativ einfach zu beantworten:

A = {1, 2, 3} und B = {4, 5}

\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)

Somit ist Aussage 1 richtig.

\(A \cap B = \emptyset \)

Somit ist Aussage 3 falsch.

Bezüglich 2 und vor allem 4 habe ich noch ein paar Verständnisschwierigkeiten.

Wenn wir jetzt für Aussage 2) die Vereinigung der Mengen A und B als C definieren, dann erhält man Folgendes:

\(C \coloneqq A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)

Da A eine Teilmenge von C und B eine Teilmenge C ist, ist doch C eine Obermenge von A und B oder? Und da in C Elemente enthalten sind die in A und B nicht enthalten sind, müsste dies doch auch eine echte Obermenge der beiden Mengen sein oder? Oder gibt es Fälle bei denen diese Aussage nicht zutrifft?

Aussage 4 finde ich echt schwer zu verstehen. Könnte bitte jemand über meinen Ansatz für die anderen Aussagen drüber schauen und mir für Aussage 4 helfen?

Answer 1

Zu 4.:

gemeint ist \((A\cup B)\;\backslash \,(A\cap B)\),

also die "symmetrische Differenz".

Comments

Ok danke Dir. Das hat ein bisschen geholfen. Hab mir gerade die Definition bei Wikipedia angeschaut. Es handelt sich also um die Elemente, die in der Vereinigung der beiden Mengen ohne deren Schnitt enthalten sind.

Muss ich jetzt davon noch das Komplement machen?

Glaube die Aussage ist falsch, aber bin mir noch nicht ganz sicher.

Wenn zwei Mengen eine Schnittmenge haben, dann trifft die Aussage meiner Meinung nach zu. Es gibt jedoch denn Fall, dass die beiden Mengen disjunkt sind. Dann wäre die symmetrische Differenz einfach die Vereinigung der beiden Mengen. Das Komplement dieser Vereinigung wäre dann nicht in beiden Mengen enthalten, was die Aussage 4 widerlegen würde.

Stimmt meine Argumentation?

Danke für die Hilfe!

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Es gibt jedoch denn Fall, dass die beiden Mengen disjunkt sind. Dann wäre die symmetrische Differenz einfach die Vereinigung der beiden Mengen.

Damit hast du vollkommen Recht.

Dass 4. falsch ist, kann man an folgendem Pipifax-Beispiel sehen:

\(A=\{1\} \; B=\{2\}\)

Answer 2

Zu 2)

Wenn A=B gilt, ist die Vereinigung keine echte Obermenge.

4) finde ich unverständlich. Was mit "bezüglich deren Vereinigung" gemeint ist, obwohl es um den Durchschnitt ging, verstehe ich nicht.

Comments

Ok danke Dir schon mal. Das mit der 2 verstehe ich jetzt.

Ja die 4 ist echt herausfordernd formuliert.

Grüße jsmileman

Answer 3

4) Das Komplement des Schnitts zweier Mengen bezüglich deren Vereinigung ist in beiden Mengen enthalten.

Das Komplement von A bezüglich B ist die Menge aller Elemente von B, die nicht zu A gehören.

Gemeint sind daher alle Elemente der Vereinigung, die nicht zum Schnitt gehören. Damit ist genau die symmetrische Differenz gemeint.

Und diese Menge ist jetzt natürlich nicht in beiden Mengen enthalten. Daher ist die Aussage falsch.