Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises:
Es gibt keine Zahlen m, n ∈ Z, die die Gleichung $m^2-n^2=46$ erfüllen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das Prinzip des Widerspruchsverfahren nicht wirklich, weswegen es mir nicht möglich ist, diese Aufgabe zu lösen. ( Diese Informationen habe ich bereits : 1.Wir haben zwei Aussagen A und B; 2.Wenn A die Aussage B impliziert, dann impliziert auch ¬B die Aussage ¬A.; 3. Die Implikation A ⇒ B ist logisch äquivalent zur Implikation ¬B ⇒ ¬A) Bin dennoch verwirrt was ich machen muss.

Need heeelllpppp :)

Answer 1

Aloha :)

Wir nehmen an, es gibt 2 ganze Zahlen $n,m\in\mathbb Z$, die die Gleichung erfüllen, dann gilt:$$m^2-n^2=46\quad\big|\text{3-te binomische Formel links und Primfaktorzerlegung rechts}$$$$(m-n)\cdot(m+n)=2\cdot23\quad\text{oder}$$$$(m-n)\cdot(m+n)=1\cdot46$$Im ersten Fall erhalten wir daraus zwei Gleichungen$$\red{m-n=2}\quad\text{und}\quad \green{m+n=23}$$Wir addieren beide Gleichungen:$$\red{(m-n)}+\green{(m+n)}=\red2+\green{23}\implies 2m=25\implies m=12,5\notin\mathbb Z$$Im zweiten Fall erhalten wir die zwei Gleichungen$$\red{m-n=1}\quad\text{und}\quad \green{m+n=46}$$Wir addieren beide Gleichungen:$$\red{(m-n)}+\green{(m+n)}=\red1+\green{46}\implies 2m=47\implies m=23,5\notin\mathbb Z$$

In beiden Fällen erhalten wir für die Zahl $m$ einen Widerspruch zu der Annahme, dass $m\in\mathbb Z$ eine ganze Zahl ist.

Da $n,m\in\mathbb Z$ zugelassen sind, müssten wir auch noch die Fälle $(-2)\cdot(-23)$ und $(-1)\cdot(-46)$ untersuchen. Beide Fälle führen aber analog dazu, dass $2m$ eine ungerade Zahl sein müsste.

Daher gibt es tatsächlich keine 2 ganzen Zahlen $n$ und $m$, die die Gleichung erfüllen.

Comments

Ich danke dir! Super erklärt, jetzt verstehe ich es :))))

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Eine weitere Möglichkeit wäre 1*46.

Das führt zu 47/2=23,5 ∉ℤ.

:-)

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Da die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, gilt für unsere beiden ganzen Zahlen:$$\red{m-n=2}\quad\text{und}\quad \green{m+n=23}$$

Das ist etwas oberflächlich.

Da wir uns im Bereich der ganzen Zahlen bewegen, sind auch negative Zahlen möglich.

Sowohl die Zuordnungen m-n=23 und m+n=2 als auch die Zuordnungen

m-n=-2 und m+n=-23

m-n=-23 und m+n=-2

sind zunächst denkbar.

Answer 2

Annahme:

Es gibt ganze Zahlen m und n mit

m²-n²=46

(m-n)(m+n)=46

...

Comments

Dankiii für die Hilfe!!!