Induktion Summenzeichen von 2n bis n

Question

Wie komme ich auf den rot Markierten Part ? Woher kommt das -n+(2n+1)+(2n+2) ?

Ich stehe gerade total auf dem Schlauch.

Text erkannt:

Beh:
\( \forall n \in \mathbb{I} \text { gilt }: \sum \limits_{j=n}^{2 n} j=\frac{3 n(n+1)}{2} \)
Bew:
IA.
\( \begin{array}{l} n_{0}=0 \\ \Rightarrow \sum \limits_{j=0}^{20} j=\frac{30(0+1)}{2}=0 \Rightarrow A\left(n_{0}\right) \text { ist wahr } \end{array} \)
IV.
Sei \( n \in \mathbb{N} \) fest aber beliebig. Weiter gelte \( A(n) \) ist watr.
15.
Z.Z. \( A(n+1) \) ist waht.
\( \begin{aligned} \Rightarrow \sum \limits_{j=n+1}^{2(n+1)} j=\sum \limits_{j=n}^{2 n+2} j-n &=\sum \limits_{j=n}^{2 n} j-n+(2 n+1)+(2 n+2) \\ &=\frac{3 n(n+1)}{2}+3 n+3 \\ &=\frac{3 n(n+1)+2(3 n+3)}{2} \\ &=\frac{3 n^{2}+3 n+2(3 n+3)}{2} \\ &=\frac{(3 n+3)(n+2)}{2} \\ &=\frac{3(n+1)(n+2)}{2} \Rightarrow A(n+1) \text { ist waht. } \square \end{aligned} \)

Answer 1

Summe aller j stand von Beginn an da.

Das "-n" nach der Summe stand auch schon da.

(Zuerst wurde ab j=n+1 summiert. Dann hat man -aus welchen Gründen auch immer- schon mit j=n begonnen, und dieser willkürlich hinzugenommene Summand wurde deshalb in Form von "-n" wieder weggenommen).

Da man in der letzten Summe den Endwert des Index von 2n+2 auf 2n zurückgenommen hat, musste man die beiden dadurch "unterschlagenen" Summanden 2n+1 und 2n+2 in deinem rot markierten Bereich einzeln wieder hinzufügen.