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Aufgabe:

Seien a, b ∈ R mit a < b und seien U1, U2 = U[a,b] ( konvergiert schwach) auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte unabhängige Zufallsvariablen. Bestimme eine Dichte von X :=U2 − U1


Problem/Ansatz:

ZUerst muss ich ja die Verteilungsfunktion aufstellen um die dichte zu berechnen wie mache ich aer das

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Die Dichte der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen bekommst du durch Faltung: sind \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten \(f_X\) bzw. \(f_Y\), dann gilt für die Dichte \(f_{X+Y}\) von \(X+Y\)

     \(\displaystyle f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_X(t)\cdot f_Y(x-t)\ \mathrm{d}t\)

ZUerst muss ich ja die Verteilungsfunktion aufstellen um die dichte zu berechnen

Nein.

Avatar von 105 k 🚀

In der Augabe ist es ja keine Summe sonden eine Subtraktion.

Das heist ich habe zwei dichten mit f_u1 und f_u2  und dann gilt

f _u2-u1 (x) = ...

Subtraktion ist Addition der Gegenzahl. Kam, glaube ich, in der sechsten oder siebten Klasse dran.

Das kann man auch auf Zufallsvariablen übertragen:

        \(U_2 - U_1 = U_2 + (-U_1)\)

wobei \(-U_1\) gleichverteilt auf \([-b, -a]\) ist.

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