Aufgabe:
Sei Pθ=Beta(θ,1) die Beta-Verteilung mit freiem Parameter θ>0 und der Wahrscheinlichkeitsdichte
fθ(x)=cθ⋅xθ−11[0,1]={cθ⋅xθ−1,0,x∈[0,1], sonst
(a) Bestimmen Sie die Konstante cθ so, dass fθ(x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Fθ(x) von Pθ.
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P2([81,41]) und P4((21,∞)).
(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung für beliebiges θ>0 und den Median (das 50%-Quantil) dieser Verteilung für θ=4.
Problem/Ansatz:
(a) Hier bin ich von folgender Definition ausgegangen: ∫01f(x)dx=1 und habe nach Integration cθ=θ erhalten.
Passt das?
(b) Hier fehlt mir leider der Ansatz
(c) Ist es hier richtig, dass ich hier ∫8141fθ(x)dx bzw. ∫21∞fθ(x)dx berechnen muss? Wobei hier ja das zweite Integral divergent wäre. Ergibt das überhaupt Sinn?
(d) Hier fehlt mir leider der Ansatz