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Aufgabe:

Sei Pθ=Beta(θ,1) \mathbb{P}_{\theta}=\operatorname{Beta}(\theta, 1) die Beta-Verteilung mit freiem Parameter θ>0 \theta>0 und der Wahrscheinlichkeitsdichte
fθ(x)=cθxθ11[0,1]={cθxθ1,x[0,1],0, sonst  f_{\theta}(x)=c_{\theta} \cdot x^{\theta-1} 1_{[0,1]}=\left\{\begin{array}{ll} c_{\theta} \cdot x^{\theta-1}, & x \in[0,1], \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right.
(a) Bestimmen Sie die Konstante cθ c_{\theta} so, dass fθ(x) f_{\theta}(x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Fθ(x) F_{\theta}(x) von Pθ \mathbb{P}_{\theta} .
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P2([18,14]) \mathbb{P}_{2}([\frac{1}{8},\frac{1}{4}]) und P4((12,)) \mathbb{P}_{4}((\frac{1}{2}, \infty)) .
(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung für beliebiges θ>0 \theta>0 und den Median (das 50%-Quantil) dieser Verteilung für θ=4 \theta=4.



Problem/Ansatz:

(a) Hier bin ich von folgender Definition ausgegangen: 01f(x)dx=1\int_{0}^{1}f(x)dx=1 und habe nach Integration cθ=θc_{\theta}={\theta} erhalten.

Passt das?

(b) Hier fehlt mir leider der Ansatz

(c) Ist es hier richtig, dass ich hier 1814fθ(x)dx\int_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}f_{\theta}(x)dx bzw. 12fθ(x)dx\int_{\frac{1}{2}}^{\infty}f_{\theta}(x)dx berechnen muss? Wobei hier ja das zweite Integral divergent wäre. Ergibt das überhaupt Sinn?

(d) Hier fehlt mir leider der Ansatz

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