Stetige Verteilung (Dichte, Verteilungsfunktion, Quantil)

Question

Aufgabe:

Sei $\mathbb{P}_{\theta}=\operatorname{Beta}(\theta, 1)$ die Beta-Verteilung mit freiem Parameter $\theta>0$ und der Wahrscheinlichkeitsdichte
$f_{\theta}(x)=c_{\theta} \cdot x^{\theta-1} 1_{[0,1]}=\left\{\begin{array}{ll} c_{\theta} \cdot x^{\theta-1}, & x \in[0,1], \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right.$
(a) Bestimmen Sie die Konstante $c_{\theta}$ so, dass $f_{\theta}(x)$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F_{\theta}(x)$ von $\mathbb{P}_{\theta}$.
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\mathbb{P}_{2}([\frac{1}{8},\frac{1}{4}])$ und $\mathbb{P}_{4}((\frac{1}{2}, \infty))$.
(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung für beliebiges $\theta>0$ und den Median (das 50%-Quantil) dieser Verteilung für $\theta=4$.

Problem/Ansatz:

(a) Hier bin ich von folgender Definition ausgegangen: $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$ und habe nach Integration $c_{\theta}={\theta}$ erhalten.

Passt das?

(b) Hier fehlt mir leider der Ansatz

(c) Ist es hier richtig, dass ich hier $\int_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}f_{\theta}(x)dx$ bzw. $\int_{\frac{1}{2}}^{\infty}f_{\theta}(x)dx$ berechnen muss? Wobei hier ja das zweite Integral divergent wäre. Ergibt das überhaupt Sinn?

(d) Hier fehlt mir leider der Ansatz