0 Daumen
129 Aufrufe

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{P}_{\theta}=\operatorname{Beta}(\theta, 1) \) die Beta-Verteilung mit freiem Parameter \( \theta>0 \) und der Wahrscheinlichkeitsdichte
\( f_{\theta}(x)=c_{\theta} \cdot x^{\theta-1} 1_{[0,1]}=\left\{\begin{array}{ll} c_{\theta} \cdot x^{\theta-1}, & x \in[0,1], \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
(a) Bestimmen Sie die Konstante \( c_{\theta} \) so, dass \( f_{\theta}(x) \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( F_{\theta}(x) \) von \( \mathbb{P}_{\theta} \).
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \( \mathbb{P}_{2}([\frac{1}{8},\frac{1}{4}]) \) und \( \mathbb{P}_{4}((\frac{1}{2}, \infty)) \).
(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung für beliebiges \( \theta>0 \) und den Median (das 50%-Quantil) dieser Verteilung für \( \theta=4\).



Problem/Ansatz:

(a) Hier bin ich von folgender Definition ausgegangen: \(\int_{0}^{1}f(x)dx=1\) und habe nach Integration \(c_{\theta}={\theta}\) erhalten.

Passt das?

(b) Hier fehlt mir leider der Ansatz

(c) Ist es hier richtig, dass ich hier \(\int_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}f_{\theta}(x)dx\) bzw. \(\int_{\frac{1}{2}}^{\infty}f_{\theta}(x)dx\) berechnen muss? Wobei hier ja das zweite Integral divergent wäre. Ergibt das überhaupt Sinn?

(d) Hier fehlt mir leider der Ansatz

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community