DGL mit einer Konstanten lösen

Question

Aufgabe:

$$ e^{k} * \dot{k} -1 - e^{k} = 0 $$

k(0)=0

Problem/Ansatz:

Hallo, diese DGL soll durch Trennung der Veränderlichen gelöst werden. Mit Awp.

Jedoch weiß ich nicht genau mit \( k^{punkt} \)  umzugehen.

Stellt man die DGL nach \( k^{punkt} \)    um? Kann man hier \( k^{punkt} \) auch ähnlich wie  $$y^ \prime$$  zu \( \frac{dy}{dx} \) umschreiben? Ich bin offen für Ansätze und Anregungen

Answer 1

Aloha :)

$$e^k\cdot\dot k-1-e^k=0\quad\big|+1+e^k$$$$e^k\cdot\dot k=1+e^k\quad\big|\div e^k$$$$\dot k=\frac{1+e^k}{e^k}\quad\bigg|\dot k=\frac{dk}{dt}$$$$\frac{dk}{dt}=\frac{1+e^k}{e^k}\quad\bigg|\text{Kehrwerte}$$$$\frac{dt}{dk}=\frac{e^k}{1+e^k}\quad\bigg|\cdot dk$$$$dt=\frac{e^k}{1+e^k}\,dk\quad\bigg|\text{integrieren}$$$$t+C=\ln(1+e^k)\quad\big|e^{\cdots}$$$$e^{t+C}=1+e^k\quad\big|-1$$$$e^t\cdot e^C-1=e^k\quad\big|\ln(\cdots)$$$$k=\ln\left(e^t\cdot e^C-1\right)\quad\big|e^C\eqqcolon a=\text{const}$$$$k=\ln\left(a\cdot e^t-1\right)$$

Anfangsbedingung \(k(0)=0\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen:$$0\stackrel!=k(0)=\ln(a-1)\implies a=e^0+1=2$$Also lautet die gesuchte Lösung:$$k(t)=\ln(2e^t-1)$$