Anfangswertproblem mittels Variation der Konstanten.

0 Daumen
61 Aufrufe

Hallo,

ich habe diese Beispielaufgabe im Netz gefunden. Man muss mittels Variation der Konstanten die Lösung des Anfangswertproblems bestimmen:$$y'(t)=t·y(t)−{ e }^{ \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 }  },\quad \quad y(0)=0$$

Ich habe schon in Literatur und im Internet nach Erklärungen gesucht, wie man Schritt für Schritt solche Aufgaben löst, jedoch verstehe ich das ganze einfach nicht. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand anhand dieses Beispiels zeigen könnte wie man solche Aufgaben löst.

Vielen Dank im voraus!

Gefragt 12 Aug von linn1

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Linn,

Inhomogene DGL 1. Ordnung  (Variation der Konstanten):

y '  +  f(t) · y  =  s(t)       

[ hier: y' - t · y  =  - e1/2 t^2 ; im Folgenden älterer Text von mir, daher t=x ] 

Die allgemeine Lösung der homogenen  DGL  y '  +  f(x) · y  =  0  ist 

yh  =  c · e F(x)         mit  F(x)  = ∫ f(x)  dx    (eine beliebige Stammfunktion von f)  

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL erhält man aus yh , indem man die Konstante c variabel macht, indem man sie durch c(x) ersetzt:

y  = c(x) · e F(x)     ( jetzt muss nur noch c(x) bestimmt werden)

Wenn man jetzt y mit der Produktregel (und Kettenregel) ableitet, hat man   

y' = c'(x) · F(x) +  c(x) · (-f(x)) · F(x) 

 y' und y in die inhomogene DGL eingesetzt ergibt: 

 c'(x) · F(x) +  c(x) · (-f(x)) · F(x) + f(x) · c(x) · F(x)  =  s(x)  

und nach c‘(x) auflöst    c'(x)  =  s(x) · eF(x) 

→  c(x)  =  ∫ c'(x) dx  = ∫ s(x) · eF(x) dx   

und damit  

y =  ∫ s(x) · eF(x) dx   ·  eF(x)   (allgemeine Lösung  der DGL)  

----------

Hier:     y' - t · y  =  - e1/2 t^2

x = t  ,  s(t)  = - e1/2 t^2 ,  f(t) = - t ,  F(t) = - 1/2 t2

y = ∫  - e1/2 t^2 · e-1/2 t^2 dt  · e1/2 t^2  = - ∫ e0 dt  · e-1/2 t^2  =  - ∫ 1 dt  · e-1/2 t^2  =  (- t + c) · e1/2 t^2  

y  =  ( - t + c ) · e1/2 t^2   (allgemeine Lösung deiner DGL) 

Anfangswertproblem:  yA(0) = 0

0 = c · e0  →  c = 0    ;   →  yA  =  - t · e1/2 t^2   

Gruß Wolfgang

Beantwortet 13 Aug von -Wolfgang- Experte LX
+1 Punkt


Hallo,

Mit der Lösungsformel funktioniert das so:

zum Schluß noch die AWB einsetzen in die Lösung

also y =t=0 und das berechnete C dann in die Lösung einsetzen.

Bild Mathematik

Bild Mathematik

Beantwortet 12 Aug von Grosserloewe Experte L

Hallo,

2. Möglichkeit der Berechnung mit Variation der Konstanten:

Bild Mathematik

Bild Mathematik

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Matheretter
...