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Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:
Bild Mathematik
Bild Mathematik
Ansatz:
$$\frac { d }{ dt } c(t)=\alpha -\beta \cdot c(t)\\ t=0,\quad c(0)=0\quad \wedge \quad { c }_{ h }(t)=const.$$
Um die Variablen zu separieren muss man die Gleichung integrieren, oder?
Also:
$$\int { \frac { d }{ dt } c(t)=\int { \alpha -\beta \cdot c(t) }  } $$
Die konstante ch(0) muss noch eingefügt werden und wird als konstante C betrachtet.
Somit:
$$\int { \frac { d }{ dt } c(t)=\int { \alpha -\beta \cdot c(t)+C }  } $$
Dann:
$$c'(t)=\int { \alpha -\beta \cdot c(t)+C } $$

Nun könnte man die Gleichung, vorausgesetzt sie wäre korrekt in (b) eingefügen:
$$c(t)=z(t)\cdot { c }_{ h }(t)$$
Es ist eine brandneue Thematik und es wäre schön, wenn ihr mir erklären könntet wie man allgemein solche DGL-Aufgaben berechnen kann, damit ich einen "Algorithmus" erlernen kann.

Beste Grüße,

Asterix

von

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Beste Antwort

Hi
zu I(a)
Die homogene DGL lautet $$ \frac{dc_h(t)}{dt} = -\beta\ c_h(t) $$ Daraus folgt
$$ \frac{dc_h(t)}{c_h(t)} = -\beta\ dt $$ Integration ergibt
$$ \ln(c_h(t)) = -\beta\ t + K' $$ also folgt
$$ c_h(t) = c_{h,0}e^{-\beta t} $$

Zu I(b) und I(c)
setzte \( c(t) = z(t)\ c_h(t) \) dann folgt
$$ z'(t)\ c_h(t) + z(t)\ c'_h(t) = \alpha - \beta z(t)\ c_h(t) $$
mit \( c'_h(t) = -\beta\ c_h(t)  \) folgt
$$ z'(t)\ c_h(t) - z(t)\ \beta\ c_h(t) = \alpha - \beta z(t)\ c_h(t) $$ also
$$ z'(t) = \frac{\alpha}{c_{h,0}}e^{\beta t} $$

zu I(d)
Die Lösung für \( z(t) \) lautet \( z(t) = \frac{\alpha}{c_{h.0}\beta}e^{\beta t}+z_0 \)

Zu I(e)
$$ c(t) = z(t) c_h(t) = \left( \frac{\alpha}{c_{h.0}\beta}e^{\beta t}+z_0 \right) c_{h,0}e^{-\beta t} = \frac{\alpha}{\beta} + z_0\ c_{h,0}e^{-\beta t}  $$
Also \( c_0 = \frac{\alpha}{\beta} + z_0\ c_{h,0} \) daraus folgt
$$ c(t) =  \frac{\alpha}{\beta} (1-e^{-\beta t})+c_0 e^{-\beta t} $$


Zu II(f)
die stationäre Lösung lautet \( 0 = \alpha -\beta c^{\star} \) also \( c^{\star}=\frac{\alpha}{\beta} \)

Zu II(g) und II(h)
$$ c(t) = y(t)+c^{\star}  $$ Daraus folgt
$$ y'(t) = \alpha -\beta (\ y(t)+c^{\star}\ ) = \alpha -\beta\ y(t) -\alpha = -\beta\ y(t)  $$

Zu II(i)
Die Lösung lautet \( y(t) = y_0\ e^{-\beta t} \)

Zu II(j)
$$ c_0 = y_0+\frac{\alpha}{\beta}  $$ also $$ y_0 = c_0 - \frac{\alpha}{\beta}  $$
Daraus ergibt sich \( c(t) \) zu
$$ c(t) = y(t) + \frac{\alpha}{\beta} = \left( c_0 - \frac{\alpha}{\beta} \right) e^{-\beta t}+\frac{\alpha}{\beta} $$

Man kommt also auf die gleiche Lösung wie vorher.

von 25 k

Guten Abend ullim,

vielen Dank für Deine Unterstützung sowie für den übersichtlichen Rechenweg. Ich kann so die einzelnen Schritte besser nachvollziehen und lernen. Ich werde jetzt jeden Schritt durchgehen.

Schönen Abend noch und beste Grüße,

Asterix

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