Laplace-Transformierte von Linearkombination (Ableitungssatz)

Question

Aufgabe:

Ermitteln sie die Laplace-Transformierte von  \(tsint \), indem sie die zweite Ableitung \(tsint'' \)

als Linearkombination der Funktionen \(tsint \), \(cost \) und \(sint \) darstellen und den Ableitungssatz verwenden.

Problem/Ansatz:

Würde hier um einen Lösungsweg bitten, da ich dies noch nicht wirklich verstehe!
Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wir haben

$$f(t):=t \sin(t), \quad f'(t)=\sin(t)+t \cos(t), \quad f''(t)=2\cos(t)-t\sin(t)$$

Wenn ich die Laplace-Transformation von f'' bilde, erhalte ich nach dem Ableitungssatz

$$s^2F(s)-sf(0)-f'(0)=s^2F(s)$$

und aufgrund der berechneten Darstellung für f''

$$\frac{2s}{1+s^2}-F(s)$$

Setzt man beides gleich, ergibt sich

$$F(s)=\frac{2s}{(1+s^2)^2}$$

Comments

und aufgrund der berechneten Darstellung für f''
\(\frac{2s}{1+s^2}-F(s)\)
Setzt man beides gleich, ergibt sich
\(F(s)=\frac{2s}{(1+s^2)^2}\)

Danke für die Antwort! Könntest du diese beiden Schritte etwas näher erläutern,

wie genau kommt man von der Laplace-Transformierten von f'' auf die Hauptfunktion?

Vielen Dank im voraus!