Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für die Gamma-Funktion gilt\( \Gamma(x) x=\Gamma(x+1), \quad x \in(0, \infty) . \)
Problem/Ansatz:
Gamma-Funktion:
Die Funktion \( \Gamma:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit\( \Gamma(x):=\int \limits_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \)
$$ \Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $$ partiell integrieren gibt
$$ \Gamma(x+1) = -t^x e^{-t} \big|_0^\infty + x \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x) $$
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