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(a) Berechnen Sie die Bogenlänge des Parabelbogens \( \gamma:[0, \sinh (1)] \rightarrow \mathbb{R}: t \mapsto\left(t, \frac{t^{2}}{2}\right) \). Hinweis: Benutzen Sie die Substitution \( t=\sinh (u) \), mit \( \sinh (u):=\frac{\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}^{-u}}{2} \).

Könnte mir jemand in ganzen Schritten zeigen, wie man die bogenlänge dieses integrals ausrechnet? Wäre sehr dankbar!

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Benutzen Sie die Substitution \( t=\sinh (u) \),

Wie sieht denn unter Verwendung dieser Substitution der Term t²/2 aus?

(Sinh(u))²/2 ? :)

mit \( \sinh (u):=\frac{\mathrm{e}^{u}-\mathrm{e}^{-u}}{2} \).

\( \frac{-2e-u × eu + eu^2 + e-u^2}{2} \)    ?

Mein bauchgefühl sagt, mir dass es falsch ist, aber ja :D

Es sollte \( \gamma:[0, \sinh (1)] \rightarrow \mathbb{R}^2: t \mapsto\left(t, \frac{t^{2}}{2}\right) \) heißen, oder? Also \(\mathbb{R}^2\) statt \(\mathbb{R}\)?

Ja, genau, stimmt :D mein Fehler!

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

als erstes berechnest du die Ableitung komponentenweise von \(\gamma\):

\(\dot{\gamma}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix}\)

und dann die Länge

\(|\dot{\gamma}(t)| = \sqrt{1^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2} \).

Nun kannst du das Integral für die Bogenlänge aufstellen:

\(\int\limits_{0}^{\sinh(1)}|\dot{\gamma}(t)| \ dt \).

Wende jetzt die im Hinweis gegebene Substitution an und denke bei der weiteren Vereinfachung an die Beziehung \(\sinh^2(u) + 1 = \cosh^2(u)\).

Versuch es erstmal selber, das Integral zu lösen. Sollte es dann noch Schwierigkeiten geben, bitte deine bisherige Lösung reinstellen, sodass wir dir dann auch mit effektiven Hinweisen helfen können.


Lg

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Perfekt, danke! Ich versuche mich nachher dann an die Aufgabe und melde mich, wenn es Probleme geben sollte. Danke dir vielmals!

+1 Daumen

Hallo,

In der Lösung muß noch eine Resubstitution durchgeführt werden :

t= sinh(u)

u=Arsinh(t)

dann Einsetzen der Grenzen

blob.png

Avatar von 121 k 🚀

Dankeschön für die musterlösung

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