Zeigen oder widerlegen Sie, dass das folgende uneigentliche Integral konvergiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie, dass das folgende uneigentliche Integral konvergiert.

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\cos (x)}{(2 x+1)^{2}} d x \)

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\cos (x)}{(2 x+1)^{2}} d x \)

Problem/Ansatz:

Moin zusammen,

leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter..... Hätte da vielleicht jemand einen Ansatz zu?

Answer 1

\( \frac{\cos (x)}{(2 x+1)^{2}} \le   \frac{1}{(2 x+1)^{2}} \)

Und \(\int \limits_{0}^{z} \frac{1}{(2 x+1)^{2}} d x = 1/2 - \frac{1}{(4 z+2)} \)

Geht für z gegen unendlich gegen 1/2, konvergiert also und ist

deshalb eine konvergente Majorante. Also konvergiert auch

\(\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\cos (x)}{(2 x+1)^{2}} d x \)