Beweisen sie folgende Ungleichungen (Numerik)

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Ungleichung beweisen:

\( \frac{1}{n} \) κ₂ (A)≤ κ₁ (A) ≤ nκ₂ (A)

Wobei A∈ℝ^(n+n) und x∈ℝ^n

und κ_p (A)= ||A||_p ||A^-1||_p

und ||A||_p = supremun \( \frac{||Ax||_p}{||x||_p} \)

Problem/Ansatz:

In der Teilaufgabe zuvor habe ich bewiesen, dass ||x||₂ ≤ ||x||₁ ≤ \( \sqrt{n} \)  ||x||₂

Ich weiß dass ich diese Formel aus der vorherigen Teilaufgabe brauche aber ich weiß nicht wo.

Zuerst habe ich erstmal alles eingesetzt was ich einsetzten konnte. Weiter komme ich leider schon nicht.

Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

Die Abschätzungen für die Vektor-Normen übertragen sich auf die Abschätzungen für die Matrizen-Normen. Zum Beispiel:

$$\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1} \leq \frac{\sqrt{n} \|Ax\|_2}{\|x\|_2} \Rightarrow \|A\|_1 \leq \sqrt{n}\|A\|_2$$

Comments

Muss ich das erst beweisen oder darf ich das einfach so annehmen?

---

Ich denke, das gehört zur Aufgabe dazu.