Beweis Teilmengen Äquivalenz

Question

Aufgabe:

Seien A,B Teilmengen von Z:

Beweisen Sie:

$$A \subset B \Leftrightarrow Z\setminus B \subset Z\setminus A$$

Problem/Ansatz:

Ich hab momentan für keine der beiden „Richtungen“ eine Idee, wie man das beweisen kann.

Ich hab versucht, die Teilmengenbeziehungen logisch darzustellen, in der Hoffnung, so weiter zu kommen, allerdings weiß ich nicht, wie ich in die eine Richtung die Menge Z bekommen soll, bzw. in die andere Richtung die Menge Z rauskürzen kann.

Answer 1

Vielleicht könnte man so anfangen:

=>
Sei A Teilmenge von B.
=> Wenn x in A, dann auch x in B (Def. der Teilmenge)
=> Wenn x nicht in B, dann x nicht in A (p=>q <=> -q=>-p)
=> Z\B ist Teilmenge von Z\A.

<= ist genau anders rum

Comments

Danke, für die schnelle Antwort :)

Ich verstehe allerdings noch nicht, wieso das Z\B ist Teilmenge von Z\A daraus folgt.

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Wenn x in A liegt, liegt es ja auch in Z (A ist ja Teilmenge). Wenn jetzt x in Z liegt, aber nicht in B, dann ist x in Z\B (laut Definition des Komplements)