Question

Äquivalenz zeigen; Mengenlehre mit Teilmenge und Schnittmenge

A⊆B <==> A ⊆ A∩B

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Äquivalenz von Aussagen zu "A ist Teilmenge von M" beweisen

Stichworte: mengen,teilmenge,äquivalenz

Hallo könnte mir da jemand weiterhelfen bitte. Die definition der Mengenoperationen sind mir Klar nur komme ich einfach nicht zu einem Ergebnis.:( ,somit würde ich gerne wissen welche Aussagen von den 4 äquivalent sind. :)

Eine andere Frage dazu kann man das mit einer Wahrheitstabelle auch beweisen?

---

Schau mal in der Rubrik "ähnliche Fragen".

Was genau willst du mit Wahrheitstabellen machen?

---

"somit würde ich gerne wissen welche Aussagen von den 4 äquivalent sind."

Alle Aussagen sind hier jeweils äquivalent zu einer anderen.

---

Ok cool danke , dann stimmt mein Ergebnis.

Und das mit den Wahrheitstabellen war ein Versuch das zu machen aber das geht nicht so wie ich mir das vorgestellt habe ^^.

Answer 1

"⇒" Sei A⊆B. egzz A∩B ⊆ A und A ⊆ A∩B

A∩B ⊆ A: Sei a∈A∩B, Dann ist a∈A.

A ⊆ A∩B: Sei a∈A. Dann ist a∈B wegen A⊆B, also ist a∈A∩B

"⇐" Sei A∩B = A und a∈A. Dann ist a∈A∩B also auch a∈B.

Answer 2

Hi, Du musst zeigen

wenn \( A \subset B \) gilt, folgt \( A \cap B = A \) und andersrum,
wenn \( A \cap B = A \) gilt, folgt \( A \subset B \)

Also muss einmal gezeigt werden das gilt \(  [A \cap B] \subset A \) und \( A \subset [A \cap B] \) wenn \( A \subset B \) gilt.

\( A \cap B \subset A \) gilt immer, denn wenn \( x \in A \cap B \) gilt, gilt \( x \in A \) also \( A \cap B \subset A \)

Wenn \( x \in A \) gilt, folgt aus der Voraussetzung \( x \in B \) also gilt \( x \in A \cap B \) also \( A \subset [A \cap B] \)


Jetzt muss noch gezeigt werden, dass wenn \( A \cap B = A  \) gilt, folgt das auch \( A \subset B \) gilt.

Sei \( x \in A\) dann folgt wegen \( A = A \cap B \) das auch \( x \in B \) gilt, also \( A \subset B \) gilt.