Beweise folgende Gleichheiten

Question

Aufgabe:

Sei A∈ℝ^n×n

Beweisen sie folgende Ungleichung

||A||₂  =supremum_||x||2=1 ||Ax||₂= λ_max (A)

Problem/Ansatz:

Ich weiß das ich in zwei Teilen beweisen muss.

Ich habe folgendermaßen angefangen:

||A||₂ = sup_x≠0 \( \frac{||Ax||₂}{||x||₂} \) =..

So habe ich dort den ersten Teil fast stehen. Ich weiß allerdings nicht wie ich den Bruch wegbekommen soll. Darf ich einfach wie in der zu beweisenden Aussage im Index annehmen, dass ||x||=1 ist? Dann würde es ja schon da stehen.

Für den zweiten Teil bin ich leider ganz planlos, da es ja eig nach Definition fast schon gilt.

Comments

Was soll denn \(\lambda_{max}(A)\) heißen?

Answer 1

Für \(x\neq 0\)  ist

\(\frac{\|Ax\|}{\|x\|}=\|\frac{1}{\|x\|}\cdot \|Ax\|=\|A(\frac{x}{\|x\|})\|\).

Nun bedenke \(\|\frac{x}{\|x\|}\|=1\)