Zerlegen Sie mittels der Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Zerlegen Sie mittels der Partialbruchzerlegung die gebrochenrationale Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$, gegeben durch
$f(x)=\frac{8-8 \cdot x}{(x-5) \cdot(x+3)}$
Funktion nach der Partialbruchzerlegung:
$f(x)=$

Problem/Ansatz:

Hi Leute. Würde mir jemand bitte erklären was hier raus kommt ? Und gerne wie man darauf gekommen ist ? Brauche das sehr dringend. Danke euch im Voraus :***

Answer 1

Hier ein Tool:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.ht…

Answer 2

Aloha :)

Der Nenner ist schon in Linearfaktoren zerlegt, sodass wir den Ansatz direkt angeben können:$$f(x)=\frac{8-8x}{(x-5)(x+3)}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+3}$$

Nun multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit $(x-5)$. Das sieht so aus:$$\frac{8-8x}{x+3}=A+\frac{B}{x+3}\cdot(x-5)$$Jetzt kannst du $x=5$ einsetzen, wobei der hintere Term wegällt und rechts A übrig bleibt:$$\frac{8-8\cdot5}{5+3}=A+\underbrace{\frac{B}{5+3}\cdot\underbrace{(5-5)}_{=0}}_{=0}\implies A=\frac{-32}{8}=-4$$

Nun kommt $B$ dran. Dazu multiplizierst du die Gleichung mit $(x+3)$:$$\frac{8-8x}{x-5}=\frac{A}{x-5}\cdot(x+3)+B$$Wenn du nun $x=-3$ einsetzt, bleibt rechts nur $B$ übrig:$$\frac{8-8\cdot(-3)}{(-3)-5}=\underbrace{\frac{A}{(-3)-5}\cdot\underbrace{((-3)+3)}_{=0}}_{=0}+B\implies B=\frac{32}{-8}=-4$$

Die gesuchte Zerlegung ist also:$$f(x)=\frac{8-8x}{(x-5)(x+3)}=-\frac{4}{x-5}-\frac{4}{x+3}$$

Wenn du dir die Schreiberei sparen möchtest, kannst du die Rechnung auch im Kopf ausführen. Dazu blendest du die pink markierten Teile aus:$$\frac{8-8x}{\pink{(x-5)}(x+3)}=\frac{A}{\pink{x-5}}+\pink{\frac{B}{x+3}}\;\bigg|_{x=5}\implies A=\frac{8-8\cdot5}{5+3}=-4$$$$\frac{8-8x}{(x-5)\pink{(x+3)}}=\pink{\frac{A}{x-5}}+\frac{B}{\pink{x+3}}\;\bigg|_{x=-3}\implies B=\frac{8-8\cdot(-3)}{(-3)-5}=-4$$

Answer 3

$$\frac{8-8 \cdot x}{(x-5) \cdot (x+3)}=\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+3} ~~~~~ | \cdot (x-5) \cdot (x+3) \newline 8 - 8 \cdot x = a \cdot (x + 3) + b \cdot (x - 5) \newline \text{Wir setzen jetzt für x einmal - 3 und einmal 5 ein.} \newline 8 - 8 \cdot (-3) = a \cdot (-3 + 3) + b \cdot (-3 - 5) \Longrightarrow b = -4\newline 8 - 8 \cdot 5 = a \cdot (5 + 3) + b \cdot (5 - 5) \Longrightarrow a = -4 \newline \text{Also} \newline \frac{8-8 \cdot x}{(x-5) \cdot (x+3)}=\frac{-4}{x-5}+\frac{-4}{x+3}$$