Untergruppen und deren Bahnen zeigen

Question

Welche der folgenden Teilmengen sind Untergruppen der Gruppe aller Bijektionen einer Ebene ε auf sich? (die Aufgabe wurde gelöst, Begründung ist nicht notwendig)

a) ∅.   
b) {idε}.
(c) die Menge aller Drehungen (einschließlich der Identität).
(d) die Menge aller Drehungen um einen festen Punkt.

a) ist keine Untergruppe

b) ist eine Untergruppe

c)ist keine Untergruppe

d) ist eine Untergruppe

Nun, die Hauptaufgabe ist: Bestimme die Bahnen der Untergruppen (Äquivalenzklassen) in der Ebene ε mit Skizze

Wie funktioniert das nun?

Answer 1

Die Bahnen bei d) sind die konzentrischen Kreise

um den festen Punkt als Zentrum und dieser Punkt selbst

(als einelementige Bahn).

Comments

und bei der Identität bei b) ist es dann nur ein Element in der Äquivalenzklasse oder? Wie kann man sich das vorstellen?

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Ja. Die Bahnen der Punkte bestehen nur aus den
jeweiligen Punkten selbst. Welche Bahn soll denn auch ein Punkt
zurücklegen, wenn man nichts mit ihm tut?