Ich denke \( a_1 \) ist ein Spaltenvektor und \( \Sigma \) soll wohl eine Kovarianzmatrix sein, zumindest muss sie wohl symmetrisch sein. Um Verwirrungen auszuschließen zwischen der Bennung der Matrix und dem Summenzeichen verwende ich den Buchstaben \( Q \) fü die symmetrische Matrix und für \( a_1 \) nehme ich \( x \) dann kommt mir das irgendwie vertrauter vor.
Die Lagrangfunktion lautet dann
$$ (1) \quad L(x) = x^t Q x - \lambda ( x^t x - 1) $$ und die Eins ist tatsächlich eine skalare \( 1 \) und nicht eine Einheitsmatrix und \( x \in \mathbb{R}^n \)
Ausgeschrieben lautet die Gleichung (1)
$$ (2) \quad L(x) = \sum_{i,j=1}^n Q_{i,j} x_i x_j - \lambda \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 -1 \right) $$
Die partiellen Ableitungen nach \( x_k \) berechnen sich folgendermaßen
$$ \frac{ \partial }{\partial x_k} L(x) = \sum_{i,j=1}^n Q_{i,j} \left( \delta_{i,k} x_j + \delta_{j,k} x_i \right) - \lambda \sum_{i=1}^n 2 x_i \delta_{i,k} $$
mit \( \delta \) ist das Kronecker-Delta Symbol, also
$$ \frac{ \partial }{\partial x_k} L(x) = \sum_{j=1}^n Q_{k,j} x_j + \sum_{i=1}^n Q_{i,k} x_i - 2 \lambda x_k = ( Qx )_k + (Qx)_k -2\lambda x_k $$
Bei der zweiten Summe wurde die Symmetrie der Matrix \( Q \) ausgenutzt.
D.h. insgesamt ergibt sich eine Darstellung in Vektorform die so aussieht.
$$ \frac{ \partial }{\partial x} L(x) = 2 Q x - 2 \lambda x = 2 (Q-\lambda \mathbb{I} ) x $$ mit \( \mathbb{I} \) ist die Einheitsmatrix.
