Zwei Rechtsinverse zu einer Abbildung finden

Question

Aufgabe

Finden Sie zwei Rechtsinverse zu der Funktion h : N → {−1, +1} , n → (−1)^n.
Entscheiden Sie, ob die Funktion surjektiv, injektiv beziehungsweise bijektiv ist.

Lösung:

a) Wir betrachten die beiden Abbildungen f, g : {−1, +1} → N, wobei f(−1) = g(−1) = 1
und f(+1) = 2, jedoch g(+1) = 42.

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf: f(−1) = g(−1) = 1 und f(+1) = 2, jedoch g(+1) = 42 ??

Answer 1

N soll wohl die natürlichen Zahlen bezeichnen. Sei weiter \(X:=\{-1,1\}\)

Eine Rechtsinverse Funktion f zu h muss erfüllen:

$$h \circ f =I:\; X \to X, \text{   d.h. }\forall x \in X: \quad h(f(x))=x$$

Für \(x=-1\) bedeutet das \(h(f(-1))=-1\). Wegen der Definition von h mus \(f(x)\) eine - irgendeine - ungerade Zahl sein, also zum Beispiel kann man setzen: \(f(-1):=1\)

Für \(x=1\) bedeutet das \(h(f(1))=1\). Wegen der Definition von h mus \(f(x)\) eine - irgendeine - gerade Zahl sein, also zum Beispiel kann man setzen: \(f(1):=2\)

Man kann jetzt eine zweite Rechsinverse definieren, indem man sein Wahl anders trifft, also zum Beispiel \(g(-1)=-1\), aber \(g(1)=42\) odler irgendeine andere gerade Zahl.

Damit hat man 2 verschiedene Rechsinverse konstruiert und es ist klar, dass man unendlich viele verschiedene definieren kann. Das ist also ein Beispiel, um zu zeigen, dass die Eindeutigkeit von beidseitigen Inversen bei einseitigen Inversen nicht gegeben ist.

Wegen \(f(2)=f(4)=f(6)=...=1\) ist f nicht injektiv und besitzt daher keine Linksinverse.