Begründen Sie kurz, dass jede der Abbildungen auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar ist

Question

Es seien $f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ und $f_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ folgendermaßen definierte Abbildungen:
$f_{1}: x \mapsto\left(1, x, x^{2}\right)^{\top}, \quad f_{2}:\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \mapsto\left(\sin \left(y_{1}\right)-\cos \left(y_{2}\right), \mathrm{e}^{y_{3}}\right)^{\top}, \quad f_{3}:\left(z_{1}, z_{2}\right) \mapsto z_{1} z_{2}$.

i) Begründen Sie kurz, dass jede der Abbildungen $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar ist, und berechnen Sie jeweils die zugehörige Jacobi-Matrix.

ii) Zeigen Sie, dass die Abbildung $f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1}$ total differenzierbar ist.

iii) Bestimmen Sie die Ableitung von $f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1}$ an beliebiger Stelle $x \in \mathbb{R}$ mittels der mehrdimensionalen Kettenregel.

Aufgabe: