Wie errechnet man in Q das multiplikativ-Inverse eines Produktes

Question

Aufgabe:Wenn wir jetzt Q als Zahlenbereich haben mit einen Term Q[\( \sqrt{5} \) ]:= c + d\( \sqrt{5} \) : c,d Elemente aus Q

und ich dann

f= 2+\( \sqrt{5} \)

und

g= 4-6\( \sqrt{5} \) habe aus Q

…

Problem/Ansatz: Kann mir da jemand einen Ansatz erklären, wie ich das Inverse aus dem Produkt von f*g errechne?

Reicht es wenn ich quasi den Kehrwert nehme oder muss man hier noch etwas beachten.

Answer 1

\(f^{-1}=\frac{1}{2+\sqrt{5}}\). Erweitere mit \(2-\sqrt{5}\):

\(\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\frac{2-\sqrt{5}}{4-5}=-2+2\sqrt{5}\).

Entsprechend \(g^{-1}\). Dann ist \((fg)^{-1}=f^{-1}g^{-1}\).

Oder \(fg\) ausrechnen und dann das Inverse - so wie hier gezeigt -

berechnen.

Comments

Danke, ich verstehe, man wechselt quasi beim Nenner der Komplexen Zahl das vorzeichen und multipliziert oben und unten das gleiche dazu, damit es keine veränderung bringt für die aufgabe.