Banach Algebra log und Exp?

Question

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!

Es sei $\mathcal{A}$ eine Banach-Algebra mit Einselement $I$, nicht notwendig kommutativ. Für $a \in \mathcal{A}$ mit $\|a\|<1$ definiert man
$\log (I+a):=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} a^{n} .$
(Wegen $\|a\|<1$ konvergiert diese Reihe in der Operatornorm.) Zeigen Sie:
(a) $\exp (\log (I+a))=I+a$,
(b) für $\|a\| \leq r<1$ ist $\|\log (I+a)-a\| \lesssim r\|a\|^{2}$,
(c) für $a, b \in \mathcal{A}$ und $m>\max (\|a\|,\|b\|)$ ist
$\left\|\log \left(e^{\frac{a}{m}} e^{\frac{b}{m}}\right)-\frac{a}{m}-\frac{b}{m}\right\| \lesssim a, b \frac{1}{m^{2}} .$
Folgern Sie die "Lie-product-formula"
$e^{a+b}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(e^{\frac{a}{m}} e^{\frac{b}{m}}\right)^{m} .$
(Bemerkung: Das Symbol $x \lesssim_{a, b, \ldots} y$ bedeutet: Es gibt eine Konstante $C=C(a, b, .$.$) , so$ dass $x \leq C y$.)