Beweisen Sie das p durch 11 teilbar ist.

Question

Aufgabe:Beweisen sie das p durch 11 Teilbar ist wenn die alternierende Quersumme durch 11 Teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Hi, ich soll Beweisen das die unten stehende Aussage korrekt ist. In den anderen Teilaufgaben der Aufgabe ging es um die Modulo Rechnung, wodurch ich annehme das wir dies also mit Modulo Beweisen sollen.

Leider finde ich keinen Ansatz wie ich das aufschreiben bzw. wo ich anfangen soll.

Text erkannt:

(c) Sei $p \in \mathbb{N}$ eine natürliche Zahl. Beweisen Sie:
$p$ ist durch 11 teilbar $\Leftrightarrow$ Die alternierende Quersumme von $p$ in Dezimaldarstellung ist durch 11 teilbar.

viele Grüße

Felix

Answer 1

Die Dezimaldarstellung von

$p$ sei $= a_0\cdot 10^0+a_1\cdot 10^1+a_2\cdot 10^2+\cdots+a_n\cdot 10^n$

mod $11$ ist dies kongruent zu

$a_0+a_1(-1)+a_2(-1)^2+\cdots +a_n(-1)^n=$

$=a_0-a_1+a_2-+\cdots+(-1)^na_n\quad(*)$.

Es ist daher $(*)\equiv 0$ mod $11\;\iff p\equiv 0$ mod $11$.