Wie lässt sich zeigen, dass es für jedes ε eine entsprechende Folge gibt?

Question

Aufgabe:

A ⊂ ℝ ist nach oben beschränkt und hat kein Maximum

zu zeigen ist dass es für jedes ε eine strenge montone und konvergente Folge gibt in A ∩ (sup(A) − ε, sup(A))

Problem/Ansatz:

ich suche eine konvergente Folge für die die Eigenschaften erfüllt sind

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Blättere mal ein wenig in der Mathelounge.de, wurde kürzlich beantwortet

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Dieselbe Frage?, dazu hab ich nichts gefunden

Answer 1

Vorüberlegung. Ist \(\varepsilon > 0\) und \(s\) eine obere Schranke von \(A\) und \(A\cap (s-\varepsilon, s)=\emptyset\), dann ist \(s-\varepsilon\) eine obere Schranke von \(A\) und somit ist \(s\) nicht Supremum von \(A\).

Sei nun \(\varepsilon_n > 0\) und seien

        \(a_0,\dots,a_n\in A\cap (\sup(A)-\varepsilon, \sup(A))\)

mit \(a_0 < \dots < a_n \).

Sei \(\varepsilon_{n+1} = \sup(A) - a_n\). Laut Vorüberlegung ist dann

        \(A\cap (\sup(A)-\varepsilon_{n+1}, \sup(A))\neq \emptyset\).

Comments

Zählt dies als vollständiger Beweis?

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Was bedeuten die letzten zwei Zeilen?

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1. Sei \(\varepsilon > 0\)

   Laut Vorüberlegung ist

           \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))\neq \emptyset\).

   Wähle also ein

           \(a_0 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))\)

   aus.

2. Setze \(\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0\).

   Laut Vorüberlegung ist

         \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\neq \emptyset\).

   Wähle also ein \(a_1 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\) aus.

   Wegen \(\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0\) ist \(\sup(A) −\varepsilon_1 = a_0\) und somit
   

           \(a_1 > a_0\).

3. Setze \(\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1\).

   Laut Vorüberlegung ist

         \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon_2, \sup(A))\neq \emptyset\).

   Wähle also ein \(a_2 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\) aus.

   Wegen \(\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1\) ist \(\sup(A) −\varepsilon_2 = a_1\) und somit

         \(a_2 > a_1\).
   

4. ...

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Vielen Dank!

Ist das also dasselbe nur in ausführlicher?

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Ja. Die Idee ist, dass zwischen dem letzten bisher konstruierten Glied der Folge und dem Supremum von \(A\) immer noch ein weiteres Element von \(A\) existiert.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung hab es jetzt verstanden