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Aufgabe:

A ⊂ ℝ ist nach oben beschränkt und hat kein Maximum

zu zeigen ist dass es für jedes ε eine strenge montone und konvergente Folge gibt in A ∩ (sup(A) − ε, sup(A))


Problem/Ansatz:

ich suche eine konvergente Folge für die die Eigenschaften erfüllt sind

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Blättere mal ein wenig in der Mathelounge.de, wurde kürzlich beantwortet

Dieselbe Frage?, dazu hab ich nichts gefunden

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Vorüberlegung. Ist ε>0\varepsilon > 0 und ss eine obere Schranke von AA und A(sε,s)=A\cap (s-\varepsilon, s)=\emptyset, dann ist sεs-\varepsilon eine obere Schranke von AA und somit ist ss nicht Supremum von AA.

Sei nun εn>0\varepsilon_n > 0 und seien

        a0,,anA(sup(A)ε,sup(A))a_0,\dots,a_n\in A\cap (\sup(A)-\varepsilon, \sup(A))

mit a0<<ana_0 < \dots < a_n .

Sei εn+1=sup(A)an\varepsilon_{n+1} = \sup(A) - a_n. Laut Vorüberlegung ist dann

        A(sup(A)εn+1,sup(A))A\cap (\sup(A)-\varepsilon_{n+1}, \sup(A))\neq \emptyset.

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Zählt dies als vollständiger Beweis?

Was bedeuten die letzten zwei Zeilen?

  1. Sei ε>0\varepsilon > 0

    Laut Vorüberlegung ist

            A(sup(A)ε,sup(A))A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))\neq \emptyset.

    Wähle also ein

            a0A(sup(A)ε,sup(A))a_0 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))

    aus.

  2. Setze ε1=sup(A)a0\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0.

    Laut Vorüberlegung ist

          A(sup(A)ε1,sup(A))A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\neq \emptyset.

    Wähle also ein a1A(sup(A)ε1,sup(A))a_1 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A)) aus.

    Wegen ε1=sup(A)a0\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0 ist sup(A)ε1=a0\sup(A) −\varepsilon_1 = a_0 und somit

            a1>a0a_1 > a_0.

  3. Setze ε2=sup(A)a1\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1.

    Laut Vorüberlegung ist

          A(sup(A)ε2,sup(A))A \cap (\sup(A) −\varepsilon_2, \sup(A))\neq \emptyset.

    Wähle also ein a2A(sup(A)ε1,sup(A))a_2 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A)) aus.

    Wegen ε2=sup(A)a1\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1 ist sup(A)ε2=a1\sup(A) −\varepsilon_2 = a_1 und somit

          a2>a1a_2 > a_1.

  4. ...

Vielen Dank!

Ist das also dasselbe nur in ausführlicher?

Ja. Die Idee ist, dass zwischen dem letzten bisher konstruierten Glied der Folge und dem Supremum von AA immer noch ein weiteres Element von AA existiert.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung hab es jetzt verstanden

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