Aufgabe zu Basis und Basisaustausch Teil 2

Question

Teil 1: https://www.mathelounge.de/973808/aufgabe-zu-basis-und-basisaustausch

Aufgabe:

Sei n ≥ 3 und v1, . . . , vn ∈ Kⁿ eine Basis von Kⁿ.

1. Finden Sie einen Vektor v ∈ Kⁿ, so dass für alle i = 1, . . . , n die Vektoren
v, v₁, . . . , v_i-1, v_i+1, . . . , v_n eine Basis von Kⁿ sind.

2. Finden Sie entweder zwei Vektoren w₁, w₂ ∈ Kⁿ, so dass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i < j die Vektoren w₁, w₂, v₁, . . . , v_i−1, v_i+1, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_n eine Basis von Kⁿ sind, oder erklären Sie, warum das nicht immer möglich ist.

Problem/Ansatz:

Nr. 2: Leider bin ich immer noch zu blöd für diese Aufgabe. Ich hätte nur als Ansatz: w₁ = w₂ + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) und w₂ = w₁ + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \)