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Wie soll man bei einer Aufgabe vorgehen bei der man eine Basis finden soll, die einen Endomorphismus triagonalisiert?

Zum Beispiel:


\(T:  M_{2x2}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{2x2}(\mathbb{C}), X \mapsto XB - BX \)

\(\text{Für } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

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Du brauchst ja eine f-invariante Fahne von Unterräumen.

Fange am besten mit dem Kern von T an. Der hat z.B.

die Basis \(  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Wenn man das mit der Standardbasis vergleicht fehlt etwa \(  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Den bildet T ab auf \(  \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

also bilden die drei auch eine Basis eines f-invarianten Unterraumes.

Muss man nur noch zu einer Basis von M2x2(ℂ) ergänzen, etwa durch

\(  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).

Dann hat T bzgl. dieser Basis

\(  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  \)

die Matrix

0   0  -2   1
0   0   1   0
0   0   0   0
0  0   0    0

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Aber der Unterraum mit der Basis \( \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\) ist nicht f-invaraint.


Sei \(U = \langle \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \rangle \)

Dann gilt

\(T  \bigg(a\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \bigg) = c T\bigg(\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \bigg)  = c \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} \not \in U\).

Oha, da hab ich nicht aufgepasst.

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