Lebesque Maß einer n-dimensionalen Kugel vereinfachen

Question

Hi!

Ich hab im Internet den Beweis zum Volumen einer n-dimensionalen Kugel vom Radius r angeschaut. Dort wird unter anderem folgende Aussage gemacht.

Mit $$B_n(r) = \{x \in \mathbb{R}^n| d(x) \leq r \}$$ folgt:

$$\lambda^n(B_n(r))= r^n\cdot \lambda^n(B_n(1))$$

Wieso darf ich das so vereinfachen und das r "herausziehen" ?

Beste Grüße

Comments

Kennst du den Transformationssatz für das Integral?

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz

Beachte dass

$$ \lambda^n(M) = \int_M 1 d\lambda^n $$

Unter "Spezialfäll" steht das gesuchte Transformationsverhalten für affine Trafos auch ausgeführt da.