Zeigen Sie, dass (V, o,+, ·) ein K -Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien $M \neq \emptyset$ eine Menge, $K$ ein Körper. Sei $V:=\operatorname{Abb}(M, K)$ die Menge aller Abbildungen von $M$ nach $K$. Seien $f, g \in V$ und $\lambda \in K$. Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf $V$ wie folgt:
$\begin{aligned} (f+g)(m) &:=f(m)+_{K} g(m) \quad \text { für alle } m \in M, \\ (\lambda \cdot f)(m) &:=\lambda \cdot{ }_{K} f(m) \quad \text { für alle } m \in M . \end{aligned}$
(a) Sei $o: M \rightarrow K$ die Nullabbildung, d.h. $o(m)=0_{K}$ für alle $m \in M$. Zeigen Sie, dass $(V, o,+, \cdot)$ ein $K$-Vektorraum ist.
(b) Betrachten Sie die Menge $S:=\left\{e_{m}: m \in M\right\}$ der Abbildungen $e_{m}: M \rightarrow K$ mit
$e_{m}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1_{K} & \text { für } x=m, \\ 0_{K} & \text { für } x \neq m . \end{array}\right.$
Zeigen Sie, dass $S$ linear unabhängig ist.
(c) Sei $M$ endlich. Zeigen Sie, dass $S$ eine Basis von $V$ ist.
(d) Sei $M$ unendlich und sei $f: M \rightarrow K$ die Abbildung, die konstant den Wert $1_{K}$ annimmt. Zeigen Sie, dass $f \notin L(S)$. Folgern Sie, dass $S$ keine Basis von $V$ ist.

Hey

Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die Aufgabe herangehe. Danke

Answer 1

a) Vektorraumaxiome prüfen:

Ist ( V , + ) eine Gruppe mit neutralem Element $o$ ?

abgeschlossen ? klar es wird ja für je zwei Elemente f,g aus V

wieder ein Element  f+g aus V definiert.

assoziativ ? kannst du aus der Assoziativität von ( K , + ) begründen.

neutrales El. ?  ja! Begründe:

           $o$ +f =   f+ $o$ = f  für alle f∈V

Und -f definiert durch -f(x) = - ( f(x)) für alle x∈M

ist inverses zu f.

Dann noch die anderen Axiome !