Zeigen Sie, dass x_n 2/3 für alle n element N

Question

Aufgabe:

x_n+1 := (2+x²_n)÷ (3+x_n)    n element N

definierte Folge.

a) Zeigen Sie, dass x_n >2/3 für alle n element N

b) Zeigen Sie, dass x_n konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert

Answer 1

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $x_{n+1}=\dfrac{2+x_n^2}{3+x_n}$ mit $x_0=1$.

(1)  Stelle zunächst fest, dass alle Folgeglieder positiv sind.

(2)  Zeige per Induktion über $n$, dass $x_n>\frac23$ für alle $n$ ist:
Die Aussage gilt offenbar für $n=0$. Die Aussage gelte für ein beliebiges aber festes $n$. Es folgt$$\quad x_{n+1}-\frac23=\frac{2+x_n^2}{3+x_n}-\frac23=x_n\cdot\frac{x_n-\frac23}{3+x_n}>0.$$(3)  Zeige, dass die Folge streng monoton fällt:$$\quad x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{2+x_n^2}{3+x_n}=\frac{3x_n-2}{3+x_n}>0.$$(4)  Nach (2) und (3) ist die Folge nach unten beschränkt und streng monoton fallend. Daraus folgt bekanntlich Konvergenz.

(5)  Der Grenzwert $x$ berechnet sich aus$$\quad x=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+x_n^2}{3+x_n}=\frac{2+x^2}{3+x}$$$\quad$zu $\boxed{x=\dfrac23}\,.$

Answer 2

Zeigen Sie, dass x_n >2/3 für alle n element N

Das ist schon falsch für n=1, wenn man als Startwert x_1=0.5 voraussetzt.

Stelle bitte die Aufgabe vollständig.

Comments

Die Aufgabe lautet;

Gegeben sei die durch x_0= 1 und

x_n+1 = (2+x²_n)÷(3+x_n)     , n element N

definierte Folge.

a) Zeigen Sie, dass x_n >2/3 für alle n element N

b) Zeigen Sie, dass (x_n) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert