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Guten Morgen Zusammen,

Ich hab hier Probleme bei dieser Aufgabe, bei der ich Eure Hilfe gebrauchen könnte:


Sei f : R → R eine Abbildung, so dass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit |f(x)−f(y)| ≤ q|x−y| für alle x,y ∈ R.

Zeige: Es existiert genau ein x ∈ R mit f(x) = x (x heißt dann Fixpunkt von f).

Mit dem folgenden Verfahren:

a) Zeige zunächst, dass f höchstens einen Fixpunkt besitzt.

(b) Sei x∈ R beliebig und die Folge (xn)n∈N rekursiv definiert durch x1 := f(x0) und xn-1 := f(xn) für alle n ∈ N.

Zeige: Für alle n ∈ N gilt |xn-1 −xn| ≤ qn|x1− x0|.

(c) Folgere aus (b), dass (xn)n∈N konvergiert.

(d) Zeige, dass x = limn→∞ xn ein Fixpunkt von f ist.


Schonmal vielen Dank!

Grüße

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Bei b) hast Du einen (Druck-)Fehler: Es muss in der Ungleichung links \(x_{n+1}\) sein.

1 Antwort

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a) Angenommen x und y sind Fixpunkte und x≠y.

==>  f(x)=x und f(y) = y

Und es ist    |f(x)−f(y)| ≤ q|x−y|

==>    |x-y| ≤ q|x−y|  und wegen 0  ≠   |x-y| kann man dividieren

==>     1 ≤ q im Widerspruch zu q<1.

Avatar von 287 k 🚀

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