Aufgabe:
Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x y^{3}-2 x^{3} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
für \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \). Zeigen Sie:
(i) Es ist \( \partial_{x} f(0, y)=2 y \) und \( \partial_{y} f(x, 0)=-2 x \) für \( x, y \in \mathbb{R} \).
(ii) Es gilt \( f \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \).
(iii) Es ist \( \partial_{y} \partial_{x} f(0,0)=2 \) und \( \partial_{x} \partial_{y} f(0,0)=-2 \).
(iv) Es gilt \( f \notin C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \).
Problem/Ansatz:
Aufgabenteil (i) und (iii) schaffe ich alleine, jedoch verstehe ich bei Aufgabenteil (ii) und (iv) nicht, was ich machen soll. Bauen überhaupt (ii) und (iv) jeweils auf (i) und (iii) auf oder sind das getrennte Aufgaben?
