injektive, surjektive und bijektive lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei \( f: K^{n} \rightarrow K^{m} \) eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix \( M(f) \in \) \( M(m \times n, K) \). Zeigen Sie:

(i) \( f \) ist injektiv \( \Leftrightarrow \) es existiert eine Matrix \( A \in M(n \times m, K) \), so dass \( A \cdot M(f)=E_{n} \).
(ii) \( f \) ist surjektiv \( \Leftrightarrow \) es existiert eine Matrix \( B \in M(n \times m, K) \), so dass \( M(f) \cdot B=E_{m} \).
Sei nun \( n=m \). Zeigen Sie:
(iii) \( f \) ist bijektiv \( \Leftrightarrow M(f) \) ist invertierbar.
(iv) Im Fall (iii) gilt \( M\left(f^{-1}\right)=M(f)^{-1} \).

Answer 1

a)

Eine lineare Abbildung f: K^n -> K^m ist injektiv, wenn sie bijektiv ist und somit keine Nullvektoren zu nicht-nullvektoren abbildet. In anderen Worten, f ist injektiv, wenn für alle Vektoren x, y ∈ K^n gilt:

f(x) = f(y) => x = y

In der Matrixform kann das wie folgt ausgedrückt werden:

M(f) * x = M(f) * y => x = y

Das bedeutet, dass die Matrix M(f) eine injektive Abbildung ist. Eine Matrix A ∈ M(n x m, K) ist injektiv, wenn sie keine Nullvektoren in ihrem Kern hat. In anderen Worten, für alle Vektoren x ∈ K^n gilt:

A * x = 0 => x = 0

Das bedeutet, dass die Matrix A ein reguläres Element der M(n x n, K) ist. Ein reguläres Element ist ein Element, das eine inverse Matrix besitzt. Die Inverse einer Matrix A ist eine Matrix A^(-1), sodass gilt:

A * A^(-1) = E_n

Da M(f) injektiv ist, gibt es eine Matrix A ∈ M (n x m, K), sodass gilt:

A * M(f) = E_n

Das bedeutet, dass f injektiv ist, wenn es eine Matrix A gibt, sodass die obige Gleichung gilt.