Wir können hier eigentlich dem Standardschema folgen, wenn es darum geht, eine Äquivalenz zu zeigen, d.h. erst die eine Implikation "\(\Rightarrow\)" und dann die andere "\(\Leftarrow\)" zeigen.
"\(\Rightarrow\)": Sei \(B\) also zunächst eine maximale linear unabhängige Menge. Zu zeigen ist, dass \(B\) auch eine Basis ist. Lineare Unabhängigkeit ist ja direkt nach Voraussetzung klar. Angenommen, es wäre nun \(B\) kein Erzeugendensystem, so gäbe es \(v\in V\), welches keine Linearkombination von den Vektoren in \(B\) ist, d.h. linear unabhängig von diesen wäre. Das ist aber ein Widerspruch, denn nach Voraussetzung ist ja \(B\) maximal. Also ist \(B\) eine Basis.
Die Rückrichtung "\(\Leftarrow\)" läuft von der Idee her ähnlich.
