Zeigen Sie: B ist genau dann eine Basis von V , wenn...

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( B \subset V \). Zeigen Sie:
(a) \( B \) ist genau dann eine Basis von \( V \), wenn \( B \) ein Erzeugendensystem von \( V \) ist und jede echte Teilmenge \( C \subsetneq B \) kein Erzeugendensystem von \( V \) ist.
(b) \( B \) ist genau dann eine Basis von \( V \), wenn \( B \) eine linear unabhängige Teilmenge von \( V \) ist und jede echte Obermenge \( C \geqslant B \) keine linear unabgängige Teilmenge von \( V \) ist.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bitte bei dem Beweis helfen?

Danke sehr im Voraus

Answer 1

Hallo

eine Basis ist die kleinste Menge von Vektoren mit deren Linearkombination man jeden Vektor aus V erzeugen kann, eine ErzeugendenMenge ist eine menge von Vektoren aus denen man jeden Vektor von V erzeugen kann.

Wenn du das weisst ist es sehr einfach, die 2 Satze zu zeigen. sieh dazu nach wie Ihr Basis und erzeugendensystem genau definiert habt und benutze eure Definitionen.

lul